Съдържание

МАО 2023, Теория, 10. клас — Задача 4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2023

LXXVII Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2023 г. 10 класс · 8 т.

Условие

При наблюдении за Венерой на некотором угловом удалении $\varepsilon$ от Солнца её угловой размер может различаться в 2 раза. Определите фазы Венеры в эти моменты. Орбиты Венеры и Земли круговые и лежат в одной плоскости.

Отговори

Решение

Решение. Зная, что отношение угловых размеров Венеры — 2 раза, определим отношение расстояний до неё в этот момент:

p = 206265 \cdot \frac{D}{r}, \quad \frac{p_1}{p_2} = \frac{r_2}{r_1} = 2

Схема: две концентрические окружности вокруг точки «Солнце» — внутренняя с подписью «orbit of Venus» и внешняя (орбита Земли) с точкой «Земля» внизу; из Земли проведены касательная к орбите Венеры длиной r0 (прямой угол в точке касания, радиус a♀) и секущая, пересекающая орбиту Венеры в двух точках на расстояниях r1 и r2; отрезок Солнце–Земля обозначен a⊕; фазовые углы φ1 и φ2 при двух положениях Венеры.

Используем свойство секущей и касательной, проведённых из одной точки:

Если касательная и секущая проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на её внешнюю часть.

r_0^2 = r_1 \cdot r_2 = 2 r_1^2,

где $r_0$ — это расстояние до Венеры в элонгации. Его можно определить с помощью теоремы Пифагора, так как полуоси обоих объектов известны:

r_0^2 = a_{\oplus}^2 - a_{\text{♀}}^2.

Тогда искомое расстояние до объекта $r_1$ будет равно

r_1 = \sqrt{\frac{1}{2} (a_{\oplus}^2 - a_{\text{♀}}^2)} = 0.49\ \text{а.е.},

а расстояние $r_2$ будет равно

r_2 = 2 r_1 = 0.98\ \text{а.е.}

Теперь перейдём к нахождению фазы, а следовательно, фазового угла. В $\triangle \odot \oplus \text{♀}$ известны три стороны и ни одного угла. Воспользуемся теоремой косинусов для стороны $a_{\oplus}$ , тогда единственным неизвестным будет угол при Венере, который является фазовым:

a_{\oplus}^2 = a_{\text{♀}}^2 + r_1^2 - 2 a_{\text{♀}} r_1 \cos \varphi_1.

Выразим косинус:

\cos \varphi_1 = \frac{a_{\text{♀}}^2 + r_1^2 - a_{\oplus}^2}{2 a_{\text{♀}} r_1},

\varphi_1 = 110^{\circ}.

Определим фазу:

\Phi = \frac{1 + \cos \varphi_1}{2} = \cos^2 \frac{\varphi_1}{2} \approx 0.33.

Можно провести аналогичные действия для дальнего положения Венеры, но можно заметить, что треугольник с вершинами в Солнце и двух положениях Венеры — равнобедренный, а углы $\varphi_1$ и $\varphi_2$ — смежные. Тогда $\varphi_2 = 180^{\circ} - \varphi_1 \approx 70^{\circ}$ , откуда фаза равна

\Phi_2 = \frac{1 + \cos \varphi_2}{2} = \frac{1 - \cos \varphi_1}{2} = 1 - \Phi_1 = 0.67.

Критерии проверки

Отношение расстояний между двумя положениями Венеры — 1 балл
Определение расстояний — 4 балла
Формула для фазы планеты — 1 балл
Определение двух значений фазы Венеры — 2 балла

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(В. Б. Игнатьев)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца	$L_{\odot} = 3.827 \times 10^{26}$ Вт
Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца	$M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot} = 5800$ К
Солнечная постоянная	$E_{\odot} = 1360.8$ Вт м $^{-2}$
Тропический год	$= 365.24219$ сут
Звёздные сутки	$T_{\text{☾}} = 23$ ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц	$S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны	$m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике	$= 10 \times 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики	$= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)	$= 2 \times 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная	$G = 6.674 \times 10^{-11}$ м $^3$ кг $^{-1}$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998 \times 10^{8}$ м с $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5.67 \times 10^{-8}$ кг с $^{-3}$ К $^{-4}$
Масса протона	$m_{\mathrm{p}} = 1.67 \times 10^{-27}$ кг
Астрономическая единица	1 а.е. $= 1.496 \times 10^{11}$ м
Парсек	1 пк $= 3.086 \times 10^{16}$ м

Формулы приближенного вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \mathrm{tg}\, x \approx x

\ln(1+x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989 \times 10^{30}$	697	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302 \times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869 \times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974 \times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348 \times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419 \times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899 \times 10^{27}$	71.5	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685 \times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683 \times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024 \times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2023_teor_10_prob.pdf · официални решения: mos_astro_2023_teor_10_ans.pdf