Съдържание

МАО 2023, Теория, 10. клас — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2023

LXXVII Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2023 г. 10 класс · 8 т.

Условие

Красная и оранжевая звёзды составляют затменную двойную систему. Красная звезда на $0.5^{\mathrm{m}}$ ярче оранжевой, а её радиус в 2.6 раза больше. Определите падение блеска двойной в главном и вторичном минимуме, если затмения в системе центральные. Чему равно отношение температур звёзд? Потемнением дисков звёзд к краю пренебречь.

Отговори

Решение

Решение. Пусть $m_{\text{к}}$ — блеск красной звезды, $m_{\text{о}}$ — блеск оранжевой звезды, $m_{\Sigma}$ — их суммарный блеск, $m_{\text{г}}$ — блеск двойной в главном минимуме, а $m_{\text{в}}$ — во вторичном. В моменты затмений или красная звезда полностью закрывает оранжевую, или оранжевая звезда проходит по диску красной, блокируя часть её света. В обоих случаях к наблюдателю перестаёт приходить свет с одинаковой по площади части неба, но, поскольку оранжевая звезда излучает больше энергии с единицы площади, большее падение блеска, то есть главный минимум на кривой блеска, будет тогда, когда красная звезда закрывает оранжевую. В этом случае мы видим только красную звезду: $m_{\text{г}} = m_{\text{к}}$ .

Для определения блеска звезды вне затмения воспользуемся формулой Погсона. Поскольку звёзды находятся на одинаковом расстоянии от наблюдателя, освещённости ( $E$ ), создаваемые ими, пропорциональны их светимостям ( $L$ ). Из Закона Стефана-Больцмана светимость связана с радиусом ( $R$ ) и температурой ( $T$ ) звезды, как $L \sim R^2 T^4$ . Тогда

m_{\Sigma} = m_{\text{о}} - 2.5 \lg \frac{E_{\text{к}} + E_{\text{о}}}{E_{\text{о}}} = m_{\text{о}} - 2.5 \lg \left( \frac{L_{\text{к}}}{L_{\text{о}}} + 1 \right)

Отношение $L_{\text{к}}/L_{\text{о}}$ также найдем из закона Погсона:

\frac{L_{\text{к}}}{L_{\text{о}}} = 10^{-0.4(m_{\text{к}} - m_{\text{о}})} \approx 1.58

Тогда искомая суммарная звёздная величина равна

m_{\Sigma} = m_{\text{о}} - 2.5 \lg 2.58 \approx m_{\text{о}} - 1.03,

а падение блеска в главном минимуме составит

\Delta m_{\text{г}} = m_{\text{к}} - m_{\text{о}} + 1.03 = 1.03 - 0.5 = 0.53.

Во вторичном минимуме оранжевая звезда видна целиком, тогда как красной звезды видна только $(R_{\text{к}}^2 - R_{\text{о}}^2)/R_{\text{к}}^2 = (2.6^2 - 1)/2.6^2 \approx 0.85$ часть поверхности. Тогда звёздная величина во вторичном минимуме:

m_{\text{в}} = m_{\text{о}} - 2.5 \lg \frac{0.85 L_{\text{к}} + L_{\text{о}}}{L_{\text{о}}} = m_{\text{о}} - 2.5 \lg \left( 0.85 \frac{L_{\text{к}}}{L_{\text{о}}} + 1 \right) \approx m_{\text{о}} - 0.93,

а падение блеска во вторичном минимуме:

\Delta m_{\text{в}} = m_{\text{о}} - 0.93 - m_{\text{о}} + 1.03 = 1.03 - 0.93 = 0.1.

Наконец, из закона Стефана-Больцмана получим отношение температур звёзд:

\frac{T_{\text{о}}}{T_{\text{к}}} = \sqrt{\frac{R_{\text{к}}}{R_{\text{о}}}} \sqrt[4]{\frac{L_{\text{о}}}{L_{\text{к}}}} = \frac{\sqrt{2.6}}{\sqrt[4]{1.58}} = 1.44.

Критерии проверки

Правильная запись формулы Погсона — 1 балл
Правильная запись з-на Стефана-Больцмана — 1 балл
Вычисление отношения светимостей двух звёзд — 1 балл
Вычисление отношения температур двух звёзд — 1 балл
Вычисление падения блеска в главном минимуме — 2 балла
Вычисление падения блеска во вторичном минимуме — 2 балла

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(Е. Н. Фадеев)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца	$L_{\odot} = 3.827 \times 10^{26}$ Вт
Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца	$M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot} = 5800$ К
Солнечная постоянная	$E_{\odot} = 1360.8$ Вт м $^{-2}$
Тропический год	$= 365.24219$ сут
Звёздные сутки	$T_{\text{☾}} = 23$ ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц	$S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны	$m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике	$= 10 \times 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики	$= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)	$= 2 \times 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная	$G = 6.674 \times 10^{-11}$ м $^3$ кг $^{-1}$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998 \times 10^{8}$ м с $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5.67 \times 10^{-8}$ кг с $^{-3}$ К $^{-4}$
Масса протона	$m_{\mathrm{p}} = 1.67 \times 10^{-27}$ кг
Астрономическая единица	1 а.е. $= 1.496 \times 10^{11}$ м
Парсек	1 пк $= 3.086 \times 10^{16}$ м

Формулы приближенного вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \mathrm{tg}\, x \approx x

\ln(1+x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989 \times 10^{30}$	697	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302 \times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869 \times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974 \times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348 \times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419 \times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899 \times 10^{27}$	71.5	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685 \times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683 \times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024 \times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2023_teor_10_prob.pdf · официални решения: mos_astro_2023_teor_10_ans.pdf