Съдържание

МАО 2023, Теория, 11. клас — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2023

LXXVII Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2023 г. 11 класс · 8 т.

Условие

Наблюдатель, находящийся в верхних слоях атмосферы Юпитера, заметил, что некоторая удалённая звезда в течение юпитерианского дня движется по эллипсу с большей полуосью $\alpha_0 = 5.1''$ . Оцените длительность восхода Солнца для этого наблюдателя. Орбиту Юпитера считайте круговой, разницей экваториального и полярного радиусов, а также дифференциальным вращением Юпитера пренебрегите, атмосферные эффекты не учитывайте.

Отговори

Решение

Решение. Сравнивая величину годичного и суточного аберрационного смещений, приходим к выводу о пренебрежимо малом значении годичной аберрации в сравнении с суточной. Суточный (как и годичный) параллакс в течение одного периода вращения Юпитера также, очевидно, никакого влияния не оказывает.

Угол аберрации равен $\alpha = \frac{v}{c}\cos\theta'$ , где $v$ — скорость движения наблюдателя, $c$ — скорость света, $\theta'$ — угол между направлением движения наблюдателя и направлением на звезду в системе отсчёта наблюдателя. Поскольку направление скорости наблюдателя со временем изменяется на $360^{\circ}$ , в течение суток любая звезда на небе дважды оказывается под углом $\theta' = 90^{\circ}$ , а значит, большая полуось аберрационного эллипса соответствует максимально возможному значению при $\cos\theta' = 1$ . Для наблюдателя на Юпитере формула аберрации принимает вид:

\alpha = \frac{2\pi R_{\text{♃}}\cos\varphi}{T_{\text{♃}} c}.

Здесь $R_{\text{♃}}$ и $T_{\text{♃}}$ — радиус и период вращения Юпитера, $\varphi$ — широта пункта наблюдений. Отсюда находим широту наблюдателя на Юпитере:

\varphi = \arccos\frac{\alpha T_{\text{♃}} c}{2\pi R_{\text{♃}}} \approx 53^{\circ}.

Юпитер находится в 5.2 раза дальше от Солнца, чем Земля. Поэтому угловой размер Солнца для наблюдателя также в 5.2 раза меньше, чем на Земле: $\delta_{\odot} = 32'/5.2 \approx 6.2'$ . Тогда, учитывая малость угла наклона экватора Юпитера к плоскости его орбиты, а также огромный (по меркам звёздных суток) период обращения Юпитера, искомое время восхода составит

\tau = \frac{\delta_{\odot}}{360^{\circ}\cos\varphi}T_{\text{♃}} \approx 17\,\text{с}.

Критерии проверки

Указание (возможно не явное, но ясное из хода решения) на то, что смещение звезды происходит вследствие суточной аберрации 1 балл
Запись формулы для угла аберрации 1 балл
Запись формулы, связывающей большую полуось аберрационного эллипса с широтой наблюдателя на Юпитере 1 балл
Определение углового размера Солнца на Юпитере 1 балл
Формула, связывающая длительность восхода и широту наблюдателя 2 балла

Если в этой формуле перепутан угловой радиус Солнца с диаметром, забыт $\cos\varphi$ , то оценка за неё уменьшается на 1 балл.
Итоговый ответ. Выставляется только при верном численном значении 1 балл
Обоснование сделанных приближений — в работе должно присутствовать указание на: малость склонения Солнца на Юпитере в виду малого угла наклона его экватора к плоскости его орбиты, малость отличия звёздных суток от солнечных на Юпитере, малость влияния параллактического суточного и годичного смещений, малость влияния аберрационного годичного смещения 1 балл

Если в решении не учитывается аберрация, максимальная оценка за задачу не может превышать 3 баллов (критерии 4 и 5 оцениваются полностью при условии отсутствия грубых физических ошибок).

Если звезда считается спутником Юпитера, ставится 0 баллов.

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(А. М. Ажакин)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца	$L_{\odot} = 3.827 \times 10^{26}$ Вт
Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца	$M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot} = 5800$ K
Солнечная постоянная	$E_{\odot} = 1360.8$ Вт м $^{-2}$
Тропический год	$= 365.24219$ сут
Звёздные сутки	$T_{\text{☾}} = 23$ ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц	$S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны	$m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике	$= 10 \times 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики	$= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)	$= 2 \times 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная	$G = 6.674 \times 10^{-11}$ м $^3$ кг $^{-1}$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998 \times 10^{8}$ м с $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5.67 \times 10^{-8}$ кг с $^{-3}$ К $^{-4}$
Масса протона	$m_{\mathrm{p}} = 1.67 \times 10^{-27}$ кг
Астрономическая единица	1 а.е. $= 1.496 \times 10^{11}$ м
Парсек	1 пк $= 3.086 \times 10^{16}$ м

Формулы приближенного вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \operatorname{tg} x \approx x

\ln(1 + x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1 + x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989 \times 10^{30}$	697	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302 \times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869 \times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974 \times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348 \times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419 \times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899 \times 10^{27}$	71.5	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685 \times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683 \times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024 \times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2023_teor_11_prob.pdf · официални решения: mos_astro_2023_teor_11_ans.pdf