Съдържание

МАО 2023, Теория, 11. клас — Задача 4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2023

LXXVII Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2023 г. 11 класс · 8 т.

Условие

Предположим, что в Солнечной системе остались только Земля, Юпитер, Нептун и Солнце, причём планеты движутся вокруг центра масс по круговым орбитам с радиусом, равным их текущей большой полуоси. Оцените, с какой вероятностью можно обнаружить центр масс Солнечной системы вне Солнца в случайный момент времени в течение ближайших 10 тыс. лет, если орбиты всех тел лежат в одной плоскости.

Отговори

Решение

Решение. Ясно, что Земля практически никакого влияния на положение центра масс оказывать не будет — это значит, что её присутствие в задаче можно не учитывать.

Схема во вращающейся системе отсчёта: оси x и y с началом в центре масс. На оси x справа отмечен Юпитер (♃) на расстоянии $a_{\text{♃}}$. Слева вверху Нептун (♆) с проекциями $x_{\text{♆}}$ на ось x и $y_{\text{♆}}$ на ось y (штриховые линии); отрезок $a_{\text{♆}}$ соединяет Нептун с центром масс. Около начала координат — окружность Солнца с координатами центра $x_{\odot}$, $y_{\odot}$; дугой отмечен угол $\alpha$ между направлением на Юпитер и направлением на Нептун.

Перейдём во вращающуюся систему отсчёта (относительно центра масс), в которой Юпитер покоится. В этой системе отсчёта введём ось, соединяющую центр масс Солнечной системы и Юпитер. Кроме того, обозначим координату Нептуна вдоль этой оси за $x_{\text{♆}}$ , а в перпендикулярном направлении — за $y_{\text{♆}}$ . Аналогично, $x_{\odot}$ и $y_{\odot}$ — центра Солнца. Тогда модули координат Солнца относительно такой системы отсчёта найдутся из следующих равенств:

-M_{\text{♃}} a_{\text{♃}} - M_{\text{♆}} x_{\text{♆}} = M_{\odot} x_{\odot},

-M_{\text{♆}} y_{\text{♆}} = M_{\odot} y_{\odot}.

К этим уравнениям следует добавить $x_{\text{♆}}^2 + y_{\text{♆}}^2 = a_{\text{♆}}^2$ . Здесь $a_{\text{♆}}$ и $a_{\text{♃}}$ — радиусы орбит Нептуна и Юпитера. Условие, при котором центр масс оказывается на границе Солнца:

x_{\odot}^2 + y_{\odot}^2 = R_{\odot}^2

Решаем данную систему относительно $x_{\text{♆}}$ . Для этого первые два уравнения возведём в квадрат, сложим и выразим $x_{\text{♆}}$ :

x_{\text{♆}} = \frac{(M_{\text{♃}} a_{\text{♃}})^2 + (M_{\text{♆}} a_{\text{♆}})^2 - (M_{\odot} R_{\odot})^2}{2 M_{\text{♃}} M_{\text{♆}} a_{\text{♃}}} \approx 10.6\,\text{а.е.}

Мы получили, что Нептун должен находиться по другую сторону от Юпитера относительно центра масс. В этом нетрудно убедиться, рассмотрев систему Солнце-Юпитер: в ней центр масс всегда расположен вне Солнца.

Граничный угол Нептун-центр масс-Юпитер $\alpha$ :

\alpha = 90^{\circ} + \arcsin\frac{10.6}{30.1} \approx 111^{\circ}

Тогда искомая вероятность $\eta$ :

\eta = \frac{2\alpha}{360^{\circ}} \approx 0.6

Обратим внимание, что ответ сильно зависит от использованных масс Солнца, Юпитера и Нептуна, а также значений их больших полуосей и радиуса Солнца.

Критерии проверки

Присутствует указание на возможность пренебречь влиянием Земли на положение центра масс системы (либо верно учтено) 1 балл
Записаны выражения для координат центра масс по 1 баллу
Записано граничное выражение для ц.м. на границе Солнца 1 балл
Получены предельные значения координат Нептуна/Юпитера, при которых центр масс оказывается вне/внутри Солнца 1 балл
Найден предельный угол $\alpha$ 1 балл
Записано выражение для искомой вероятности 1 балл
Получено верное численное значение итоговой вероятности 1 балл

В случае, если участник не учитывал смещение центра масс в направлении перпендикулярном линии Солнце-Юпитер, и обосновал это приближение, не засчитывается только 1 балл по критерию 2 — запись выражения для координаты y центра масс. Итоговая оценка при условии верного выполнения остальных этапов решения составляет 7 баллов. В случае, если обоснование отсутствует, не засчитывается также балл за итоговый численный ответ, и итоговая оценка при условии верного выполнения остальных этапов решения составляет 6 баллов.

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(А. М. Ажакин)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца	$L_{\odot} = 3.827 \times 10^{26}$ Вт
Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца	$M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot} = 5800$ K
Солнечная постоянная	$E_{\odot} = 1360.8$ Вт м $^{-2}$
Тропический год	$= 365.24219$ сут
Звёздные сутки	$T_{\text{☾}} = 23$ ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц	$S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны	$m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике	$= 10 \times 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики	$= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)	$= 2 \times 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная	$G = 6.674 \times 10^{-11}$ м $^3$ кг $^{-1}$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998 \times 10^{8}$ м с $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5.67 \times 10^{-8}$ кг с $^{-3}$ К $^{-4}$
Масса протона	$m_{\mathrm{p}} = 1.67 \times 10^{-27}$ кг
Астрономическая единица	1 а.е. $= 1.496 \times 10^{11}$ м
Парсек	1 пк $= 3.086 \times 10^{16}$ м

Формулы приближенного вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \operatorname{tg} x \approx x

\ln(1 + x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1 + x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989 \times 10^{30}$	697	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302 \times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869 \times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974 \times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348 \times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419 \times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899 \times 10^{27}$	71.5	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685 \times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683 \times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024 \times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2023_teor_11_prob.pdf · официални решения: mos_astro_2023_teor_11_ans.pdf