Съдържание

МАО 2023, Теория, 11. клас — Задача 5

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2023

LXXVII Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2023 г. 11 класс · 8 т.

Условие

Один астроном очень хотел увидеть Большой Юпитер в свой не очень большой телескоп ( $D = 100\,\text{мм}$ , $f/8$ ). Так как окуляр у него уже был ( $f = 15\,\text{мм}$ ), он решил увеличить эквивалентное фокусное расстояние телескопа. Как известно, для этого можно использовать линзу Барлоу — рассеивающую линзу, устанавливаемую чуть ближе к объективу, чем фокальная плоскость телескопа. Строение корпуса окуляра позволяет удобно закрепить эту линзу на расстоянии 30 мм от линзы самого окуляра. Найдите оптическую силу необходимой линзы Барлоу и расстояние от неё до фокальной плоскости, если астроном хочет увидеть Юпитер с угловым диаметром в $2^{\circ}$ , в 4 раза больше, чем у Луны! Все линзы считать тонкими, а Юпитер — находящимся в противостоянии.

Отговори

Решение

Решение. Для начала определим требуемое увеличение телескопа. Рассчитаем видимый угловой диаметр Юпитера, находящегося в противостоянии.

\alpha = \frac{2 \times 70\,000\,\text{км}}{5.2\,\text{а.е.} - 1\,\text{а.е.}} \approx 45''.

Необходимый угловой диаметр Юпитера — $\beta = 2^{\circ}$ , можно считать малым углом. Таким образом, требуемое увеличение:

\Gamma = \frac{\beta}{\alpha} = 160\ \text{крат.}

Увеличение же телескопа, получаемое с имеющимся окуляром — $\Gamma' = \frac{F}{f} = 53.3$ раза, где $F = 800\,\text{мм}$ — фокусное расстояние телескопа, полученное из диаметра и относительного отверстия. Таким образом, линза Барлоу должна увеличить увеличение телескопа, или, более правильно будет сказать, эквивалентное фокусное расстояние телескопа, в 3 раза.

Оптическая схема на общей горизонтальной оси: слева рассеивающая линза Барлоу $BB'$ (вертикальная линия со стрелками-«вилками» внутрь), справа собирающая линза окуляра $O$. На оси отмечены точки $F_B$ (слева и справа от линзы Барлоу), $B$, $F_0$, $F$, $O$. Вертикальная стрелка $F_0F_0'$ — старая фокальная плоскость, более высокая стрелка $FF'$ — новая фокальная плоскость. Штриховые и пунктирные лучи проходят через $B'$ и $B$ и сходятся в точке $F'$; горизонтальная штриховая линия идёт на уровне $B'$ и $F_0'$.

Изображение оптической схемы можно увидеть на рисунке. $BB'$ — линза Барлоу, $O$ — окуляр, $F_0F_0'$ — фокальная плоскость объектива телескопа, $FF'$ — фокальная плоскость телескопа и линзы Барлоу вместе, $F_B$ — фокусы линзы Барлоу. Лучи $B'F_0'$ и $BF_0'$ идут непосредственно от объектива телескопа и без линзы Барлоу сошлись бы в фокальной плоскости $F_0F_0'$ . Однако линза их преломляет, преобразуя в лучи $B'F'$ и $BF'$ , сходящиеся в новой фокальной плоскости (луч, проходящий через центр линзы, как обычно, не изменяется).

Нам нужно найти соотношения между расстояниями от линзы Барлоу до старого ( $BF_0$ ) и нового фокуса ( $BF$ ), и фокусным расстоянием самой линзы ( $BF_B$ ). Это можно сделать с помощью формулы тонкой линзы, однако написать её сразу и правильно в этом случае достаточно сложно, поэтому воспользуемся обычной геометрией. Из подобия треугольников $F_BBB'$ и $F_BF'F$ :

\frac{BB'}{FF'} = \frac{BF_B}{BF_B + BF}.

Из подобия треугольников $BFF'$ и $BF_0F_0'$ :

\frac{F_0F_0'}{FF'} = \frac{BF_0}{BF}.

Так же по построению $BB' = F_0F_0'$ . Выражая эти отрезки из двух предыдущих равенств и приравнивая, получаем:

BB' = FF' \cdot \frac{BF_B}{BF_B + BF} = FF' \cdot \frac{BF_0}{BF} = F_0F_0'

\frac{BF_B}{BF_B + BF} = \frac{BF_0}{BF}

\frac{BF_B + BF}{BF_B} = \frac{BF}{BF_0}

1 + \frac{BF}{BF_B} = \frac{BF}{BF_0}

\frac{1}{BF} + \frac{1}{BF_B} = \frac{1}{BF_0}

\frac{1}{BF_B} = \frac{1}{BF_0} - \frac{1}{BF}

Мы получили формулу тонкой линзы для данного случая. Также мы знаем, что $BF = 3 \cdot BF_0$ , так как линза Барлоу должна уменьшать угол схождения лучей в точку в 3 раза. И что $BF = BO - FO$ ( $FO = f$ — фокусное расстояние окуляра), а значит, $BF = 15\,\text{мм}$ и $BF_0 = 5\,\text{мм}$ – это искомое в задаче расстояние от линзы Барлоу до фокальной плоскости телескопа.

Далее подставляем полученные значения в формулу тонкой линзы и получаем, что фокус линзы Барлоу $-1 \cdot BF_B = -7.5\,\text{мм}$ . Знак минус ставится, так как линза рассеивающая. Оптическая сила линзы $\tilde{D} = -1/0.0075 = -133.3\,\text{дптр}$ .

Критерии проверки

Определение углового диаметра Юпитера в противостоянии 1 балл
Определение кратности линзы Барлоу 2 балла
Получение или правильная запись формулы тонкой линзы 2 балла
Вычисление расстояния от линзы до фокальной плоскости 2 балла
Вычисление оптической силы линзы 1 балл

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(С. Г. Желтоухов)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца	$L_{\odot} = 3.827 \times 10^{26}$ Вт
Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца	$M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot} = 5800$ K
Солнечная постоянная	$E_{\odot} = 1360.8$ Вт м $^{-2}$
Тропический год	$= 365.24219$ сут
Звёздные сутки	$T_{\text{☾}} = 23$ ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц	$S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны	$m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике	$= 10 \times 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики	$= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)	$= 2 \times 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная	$G = 6.674 \times 10^{-11}$ м $^3$ кг $^{-1}$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998 \times 10^{8}$ м с $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5.67 \times 10^{-8}$ кг с $^{-3}$ К $^{-4}$
Масса протона	$m_{\mathrm{p}} = 1.67 \times 10^{-27}$ кг
Астрономическая единица	1 а.е. $= 1.496 \times 10^{11}$ м
Парсек	1 пк $= 3.086 \times 10^{16}$ м

Формулы приближенного вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \operatorname{tg} x \approx x

\ln(1 + x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1 + x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989 \times 10^{30}$	697	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302 \times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869 \times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974 \times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348 \times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419 \times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899 \times 10^{27}$	71.5	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685 \times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683 \times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024 \times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2023_teor_11_prob.pdf · официални решения: mos_astro_2023_teor_11_ans.pdf