Съдържание

МАО 2023, Теория, 7. клас — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2023

LXXVII Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2023 г. 7 класс

Условие

Известно, что один атом нейтрального водорода в межзвёздных облаках излучает на длине волны 21 см в среднем 1 раз за 11 млн. лет. Определите, насколько много таких фотонов излучается за 1 секунду в нашей Галактике, если масса межзвёздного газа составляет 2% от массы Галактики.

Решение

На первом этапе задачи определим, как много атомов нейтрального водорода содержится в межзвёздном газе:

N = \dfrac{M_{\text{межзвёздный газ}}}{m_H},

где $m_H$ — это масса одного атома водорода или, что практически то же самое, масса протона. Масса межзвёздного газа составляет 2% от массы Галактики. Её можно взять в справочных данных $M_{MW} = 2\times10^{12}\ M_{\odot}$ , где $M_{\odot}$ — это масса Солнца. Там же в справочных данных $M_{\odot} = 2\times10^{30}$ кг.

Подставляя все записанные величины:

N = \dfrac{2\%\,M_{MW}}{m_H} = \dfrac{2\%\times 2\times10^{12}M_{\odot}\times 2\times10^{30}\ \text{кг}}{1.67\times10^{-27}\ \text{кг}} = 4.8\times10^{67}\ \text{атомов водорода}.

Каждый атом излучает фотон с длиной волны 21 см крайне редко — 1 раз за 11 миллионов лет.

\Delta t = 1.1\times10^{7}\ \text{лет} = 1.1\times10^{7}\times 365.25\times 24\times 3600\ \text{с} = 3.47\times10^{14}\ \text{с}.

Но, поскольку атомов нейтрального водорода в межзвёздном газе очень много, то в единицу времени (в одну секунду) излучается

\dfrac{\Delta N}{\Delta t} = \dfrac{4.8\times10^{67}}{3.47\times10^{14}} = 1.38\times10^{53}\ \text{фотонов в секунду}.

Критерии проверки

Нахождение в справочных данных массы галактики и Солнца — 2 балла.
Определение числа атомов водорода — 3 балла.
Определение времени между излучениями фотона в секундах — 1 балл.
Получение итогового ответа — 2 балла.

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.
(В. Б. Игнатьев)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца $L_{\odot} = 3.827 \times 10^{26}\ \mathrm{Вт}$
Видимая звёздная величина Солнца $m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца $M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца $T_{\odot} = 5800\ \mathrm{К}$
Солнечная постоянная $E_{\odot} = 1360.8\ \mathrm{Вт\,м^{-2}}$
Тропический год $= 365.24219$ сут
Звёздные сутки $T_{\text{☾}} = 23$ ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике $\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц $S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны $m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике $= 10 \times 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики $= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца) $= 2 \times 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная $G = 6.674 \times 10^{-11}\ \mathrm{м^{3}\,кг^{-1}\,с^{-2}}$
Скорость света в вакууме $c = 2.998 \times 10^{8}\ \mathrm{м\,с^{-1}}$
Постоянная Стефана-Больцмана $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\ \mathrm{кг\,с^{-3}\,К^{-4}}$
Масса протона $m_{\mathrm{p}} = 1.67 \times 10^{-27}$ кг
Астрономическая единица $1$ а.е. $= 1.496 \times 10^{11}$ м
Парсек $1$ пк $= 3.086 \times 10^{16}$ м

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989\times10^{30}$	697	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302\times10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869\times10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974\times10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348\times10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419\times10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899\times10^{27}$	71.5	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685\times10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683\times10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024\times10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2023_teor_7_prob.pdf · официални решения: mos_astro_2023_teor_7_ans.pdf