Съдържание

МАО 2023, Теория, 7. клас — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2023

LXXVII Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2023 г. 7 класс

Условие

Вокруг далёкой звезды вращается планета — горячий нептун. Под действием излучения звезды планета непрерывно теряет атмосферу со скоростью $\dot{M} = 2 \times 10^{8}\ \mathrm{кг/с}$ . Вспышки в атмосфере звезды сопровождаются корональными выбросами массы, каждый из которых приводит к дополнительной потере вещества планетой $\Delta M = 10^{-10}M$ , где $M = 1.37 \times 10^{26}$ кг. Вспышки бывают трёх типов, приводящих к потере массы планетой со скоростью $225\dot{M}$ , $70\dot{M}$ и $44\dot{M}$ . Определите продолжительность каждого типа вспышек. Через какое время планета полностью потеряет всю атмосферу, если атмосфера составляет 16% массы планеты, а вспышки происходят каскадом из всех трёх типов: 2 сильных, 3 средних и 4 слабых? Считать, что между каскадами проходит 11 лет, а между вспышками в каскаде — 20 дней.

Решение

Найдём вначале продолжительность каждой вспышки:

t = \dfrac{\Delta M}{\dot M_{\text{вспышки}}} = \dfrac{10^{-10}M}{k\dot M} = \dfrac{1}{k}792.8\ \text{сут}.

Здесь $k$ равно 225 для сильных вспышек, 70 для средних и 44 для слабых. Подставляя эти значения, получаем $t_{\text{сильной}} = 3.52$ сут; $t_{\text{средней}} = 11.33$ сут; $t_{\text{слабой}} = 18.02$ сут.

Продолжительность каскада вспышек составляет

t_{\text{кас}} = 2\times t_{\text{сильной}} + 3\times t_{\text{средней}} + 4\times t_{\text{слабой}} + 8\times 20\ \text{сут} = 273.11\ \text{сут}.

Найдём дополнительную потерю массы в каскаде:

\Delta M_{\text{кас}} = 2\times\Delta M + 3\times\Delta M + 4\times\Delta M = 9\times\Delta M = 9\times10^{-10}M.

Найдём потерю атмосферы за период между двумя началами каскадов:

\overline{M} = (11\ \text{лет} + t_{\text{кас}})\times\dot M + \Delta M_{\text{кас}} = 1.97\times10^{17}\ \text{кг}.

Масса атмосферы планеты составляет $m = 0.16\times M = 2.192\times10^{25}$ кг. Тогда время полной потери атмосферы:

t = \dfrac{m}{\overline{M}}\times(11\ \text{лет} + t_{\text{кас}}) = 1.31\times10^{9}\ \text{лет}.

Критерии проверки

Найдена продолжительность каждой вспышки — 2 балла (1 за формулу, 1 за расчёт всех трёх продолжительностей)
Найдена масса атмосферы — 1 балл.
Найдена продолжительность каскада — 1 балл.
Найдена дополнительная потеря массы в каскаде — 1 балл.
Найдена потеря атмосферы за период между двумя началами каскадов (может быть объединено с пунктом 4 в решении) — 2 балла.
Найдено время полной потери атмосферы (и значение, и формула есть) — 1 балл.

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.
(А. А. Автаева)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца $L_{\odot} = 3.827 \times 10^{26}\ \mathrm{Вт}$
Видимая звёздная величина Солнца $m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца $M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца $T_{\odot} = 5800\ \mathrm{К}$
Солнечная постоянная $E_{\odot} = 1360.8\ \mathrm{Вт\,м^{-2}}$
Тропический год $= 365.24219$ сут
Звёздные сутки $T_{\text{☾}} = 23$ ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике $\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц $S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны $m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике $= 10 \times 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики $= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца) $= 2 \times 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная $G = 6.674 \times 10^{-11}\ \mathrm{м^{3}\,кг^{-1}\,с^{-2}}$
Скорость света в вакууме $c = 2.998 \times 10^{8}\ \mathrm{м\,с^{-1}}$
Постоянная Стефана-Больцмана $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\ \mathrm{кг\,с^{-3}\,К^{-4}}$
Масса протона $m_{\mathrm{p}} = 1.67 \times 10^{-27}$ кг
Астрономическая единица $1$ а.е. $= 1.496 \times 10^{11}$ м
Парсек $1$ пк $= 3.086 \times 10^{16}$ м

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989\times10^{30}$	697	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302\times10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869\times10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974\times10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348\times10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419\times10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899\times10^{27}$	71.5	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685\times10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683\times10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024\times10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2023_teor_7_prob.pdf · официални решения: mos_astro_2023_teor_7_ans.pdf