МАО 2023, Теория, 8. клас — Задача 2

• $40^{\circ}$ з.д., $81^{\circ}$ ю.ш.

Решение. В день осеннего равноденствия Солнце восходит ровно в 6 часов местного времени, а садится в 18 часов. В месте, где спрятано Чудо, полдень, т.е. 12 часов, наступает через 6 часов после того, как полдень наступил в Столице. Значит, Чудо расположено западнее на 6 часов или $90^{\circ}$. Искомая долгота Чуда $40^{\circ}$ з.д.

Поскольку в месте, где спрятано Чудо, есть периоды, когда Солнце не восходит, оно должно быть за полярным кругом. Вега — звезда северного неба, следовательно Чудо спрятано за южным полярным кругом в Антарктиде.

Полный круг — это $360^{\circ}$, а значит, двадцатая часть круга равна $18^{\circ}$. Наблюдатель, находящийся на полюсе, видит звёзды, движущиеся параллельно горизонту. Если он отойдёт от полюса, то есть изменит свою широту на $X^{\circ}$, то в верхней кульминации звезда будет подниматься на $X^{\circ}$ выше, чем при наблюдении с южного полюса, а нижняя — на $X^{\circ}$ ниже. Получается, что разность высот составит $2X^{\circ}$. Следовательно, Чудо находится на расстоянии $9^{\circ}$ от южного полюса.

Того же результата можно достичь, зная формулы для верхней и нижней кульминации:

Поскольку речь идёт о большей части звёзд, можно не принимать во внимание верхнюю кульминацию к югу от зенита, а также заходящие звёзды. В южном полушарии $\varphi < 0$ и, следовательно, $\delta < 0$. Тогда $|\varphi + \delta| = -(\varphi + \delta)$ и $|\varphi - \delta| = -(\varphi - \delta)$, откуда

В итоге получаем $\varphi = -81^{\circ}$ или $81^{\circ}$ ю.ш.

Критерии проверки

1. Нахождение разницы долгот Чуда и столицы 1 балл
2. Определение направления по долготе (запад/восток) 2 балла
3. Правильное численное значение долготы 1 балл
4. Объяснение, что широта в южном полушарии 2 балла
5. Правильное численное значение широты 2 балла

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(А. А. Автаева)