Съдържание

МАО 2023, Теория, 8. клас — Задача 6

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2023

LXXVII Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2023 г. 8 класс · 12 т.

Условие

На рисунке показано затмение Солнца, которое когда-нибудь смогут наблюдать наши далёкие-далёкие потомки. Через сколько лет это произойдёт, если Луна удаляется от Земли с постоянной скоростью 3 см/год, а радиус Солнца растёт на $1.2\% R_{\odot}$ каждые 100 млн.лет? Как долго будет длиться затмение (все фазы в сумме)? Как часто будут происходить затмения? Считайте, что орбита Луны со временем станет круговой и лежащей в плоскости эклиптики.

Фотография солнечного затмения на чёрном фоне: большой светлый диск Солнца с несколькими мелкими солнечными пятнами и тёмный диск Луны меньшего размера, смещённый вправо от центра солнечного диска и целиком лежащий на нём.

Отговори

Решение

Тот же рисунок, что и в условии: фотография солнечного затмения на чёрном фоне — светлый диск Солнца с несколькими мелкими пятнами и меньший тёмный диск Луны, смещённый вправо от центра и целиком лежащий на солнечном диске.

Решение. С помощью линейки определим относительные видимые размеры Луны и Солнца на рисунке. Получим, что диск Солнца в 1.5 раза больше диска Луны. Можно вспомнить, что угловой размер Солнца равен примерно $\delta_{\odot} \approx 32'$ или вычислить его из имеющихся данных:

\delta_{\odot} \approx \frac{2R_{\odot}}{a_{\oplus}} \approx 9.4 \times 10^{-3}\ \text{рад} \approx 32'.

Угловой размер Солнца растет со временем, как

\delta_{\odot}(t_5) = \frac{2(R_{\odot} + 0.012R_{\odot}t_5)}{a_{\oplus}} = \delta_{\odot}(1 + 0.012t_5).

Здесь как $t_5$ мы обозначаем время, измеряемое в сотнях миллионов лет. Угловой размер Луны уменьшается со временем, как

\delta_{\text{☾}}(t_5) = \frac{2R_{\text{☾}}}{a_{\text{☾}} + vt_5} = \frac{\delta_{\text{☾}}}{1 + \frac{vt_5}{a_{\text{☾}}}}.

Текущий угловой размер Луны получается равным $\delta_{\text{☾}} = 31'$ . Для того чтобы не возникало проблем с размерностью, скорость удаления Луны нужно выразить в особых единицах: $v = 3\ \text{см/год} = 3000\ \text{км}/10^8\ \text{лет}$ . Чтобы узнать время, через которое угловые размеры Солнца и Луны будут отличаться в полтора раза, поделим их выражения одно на другое:

\frac{\delta_{\odot}(t_5)}{\delta_{\text{☾}}(t_5)} = 1.5 = \frac{\delta_{\odot}}{\delta_{\text{☾}}}(1 + 0.012t_5)\left(1 + \frac{vt_5}{a_{\text{☾}}}\right).

Это уравнение можно привести к квадратному, решив которое, получим $t_5 \approx 21$ , то есть 2.1 млрд лет.

Расстояние до Луны в этот момент будет равно $\bar{a}_{\text{☾}} = a_{\text{☾}} + vt_5 = 4.5 \times 10^5$ км. Если Луна будет двигаться по эклиптике, то время между затмениями будет равно периоду обращения Луны относительно Солнца (синодический период). Орбитальный (сидерический) период Луны можно найти из третьего закона Кеплера:

T = T_0\left(\frac{\bar{a}_{\text{☾}}}{a_{\text{☾}}}\right)^{\frac{3}{2}} \approx 34\ \text{сут}.

Само Солнце совершает один оборот по небу за год. Тогда синодический период Луны равен

S = \frac{365.25 \times 34}{365.25 - 34} = 38\ \text{сут}.

От начала до конца затмения Луна проходит угловое расстояние, равное $\delta_{\odot}(t_5) + \delta_{\text{☾}}(t_5)$ , относительно Солнца. Тогда продолжительность затмения равна

\tau = 38 \times \frac{40' + 27'}{360^{\circ}} \approx 0.118\ \text{сут} \approx 2.8\ \text{часа}.

Критерии проверки

Полученное из рисунка отношение угловых размеров Солнца и Луны в диапазоне 1.45-1.55 2 балла

Если значение получилось хуже, но попадает в интервал 1.4-1.6, то выставляется 1 балл, в противном случае — 0 баллов за этап.
Верное вычисление времени, через которое сможет наблюдаться затмение, изображённое на рисунке 4 балла

Из них 1 балл ставится за вычисление углового размера Солнца с величиной 31-32 $'$ (или использование известного углового размера из диапазона 30-32 $'$ ). При использовании $\delta_{\odot} = \delta_{\text{☾}} = 0.5^{\circ}$ оценка не снижается.

Если эта величина вычисляется из заведомо неправильной модели или вообще берётся «с потолка», то ответы на оставшиеся два вопроса оцениваются по 1 баллу.
Верное вычисление расстояние до Луны в будущем 1 балл
Верное вычисление орбитального периода вращения Луны 2 балла
Верное вычисление синодического периода вращения Луны 1 балла
Верное вычисление длительности всего затмения 2 балла

Если вместо диаметров использованы радиусы тел, то ставится 1 балл.

Если вместо синодического периода использован сидерический, то ставится 1 балл.

Максимальная оценка за задачу 12 баллов.

(А. М. Татарников, Е. Н. Фадеев)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца $L_{\odot} = 3.827 \times 10^{26}$ Вт
Видимая звёздная величина Солнца $m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца $M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца $T_{\odot} = 5800$ К
Солнечная постоянная $E_{\odot} = 1360.8$ Вт м $^{-2}$
Тропический год $= 365.24219$ сут
Звёздные сутки $T_{\text{☾}} = 23$ ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике $\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц $S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны $m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике $= 10 \times 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики $= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца) $= 2 \times 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная $G = 6.674 \times 10^{-11}$ м $^3$ кг $^{-1}$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме $c = 2.998 \times 10^{8}$ м с $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}$ кг с $^{-3}$ К $^{-4}$
Масса протона $m_{\mathrm{p}} = 1.67 \times 10^{-27}$ кг
Астрономическая единица 1 а.е. $= 1.496 \times 10^{11}$ м
Парсек 1 пк $= 3.086 \times 10^{16}$ м

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989 \times 10^{30}$	697	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302 \times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869 \times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974 \times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348 \times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419 \times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899 \times 10^{27}$	71.5	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685 \times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683 \times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024 \times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2023_teor_8_prob.pdf · официални решения: mos_astro_2023_teor_8_ans.pdf