Съдържание

МАО 2023, Теория, 8. клас — Задача 5

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2023

LXXVII Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2023 г. 8 класс · 8 т.

Условие

Спиральная галактика имеет диск радиуса 10 кпк. Равномерно по диску галактики разбросано множество разумных цивилизаций, где астрономы ведут наблюдения за центром галактики. В некоторый момент на сверхмассивную дыру в центре этой галактики падает звезда, что приводит к яркой вспышке излучения. Через какое время об этом событии узнает половина цивилизаций в этой галактике? Ответ дайте в годах.

Одновременно со вспышкой перпендикулярно диску галактики со скоростью $15\,000$ км/с вылетел сгусток вещества звезды. Какая доля цивилизаций будет видеть этот сгусток на угловом расстоянии большем $5^{\circ}$ к моменту, когда все цивилизации узнают о вспышке?

Отговори

Решение

Решение. Поскольку цивилизации разбросаны по диску галактики равномерно, то число цивилизаций в некотором объёме диска пропорционально площади этой части диска. Пусть $R$ — радиус диска. Тогда полная площадь диска равна $S = \pi R^2$ , а радиус диска, соответствующий половине площади диска галактики, равен

R_{1/2} = R/\sqrt{2} \approx 7.1\ \text{кпк} \approx 23000\ \text{св. лет}.

Получаем, что за 23000 лет свет от вспышки доберётся до половины цивилизаций.

Рассмотрим некоторую цивилизацию, обитающую на расстоянии $R_5$ от центра галактики, которая видит сгусток на угловом расстоянии $\alpha = 5^{\circ}$ над центром галактики в тот момент, когда информация об этом достигла края галактического диска. Произошло это событие спустя время $t = R/c$ , где $c$ — скорость света. Но рассматриваемая цивилизация сама узнала об этом событии только через время $t_5 = R_5/c$ . Значит, она наблюдает движение сгустка в течение времени $\Delta t = t - t_5$ . За это время сгусток поднялся над галактикой на высоту $H = v\Delta t$ . Поскольку угол $\alpha$ довольно мал, можем записать связь $\alpha$ и $H$ , как

\alpha = \frac{H}{R_5} = \frac{v\Delta t}{R_5} = \frac{R - R_5}{R_5}\frac{v}{c}.

Отсюда получаем выражение для $R_5$ :

R_5 = R\frac{1}{\frac{\alpha}{v/c} + 1} \approx 3.6\ \text{кпк}.

Тогда искомая доля цивилизаций равна

\eta = \left(\frac{R_5}{R}\right)^2 \approx 0.13.

Критерии проверки

Число цивилизаций пропорционально части площади диска 1 балл
Вычисление $R_{1/2}$ 1 балл
Вычисление времени – ответ на 1-й вопрос 1 балл
Показано, что в точке с $\alpha = 5^{\circ}$ видно сгусток только в течение $\Delta t$ 1 балл
Вычисление $R_5$ 3 балла

За вычисление $R_5$ без учёта скорости света с ответом 5.7 кпк выставляется 1 балл.
Вычисление искомой доли 1 балл

Этот балл выставляется только в тех случаях, когда за определение $R_5$ была поставлена оценка выше 0.

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(Е. Н. Фадеев)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца $L_{\odot} = 3.827 \times 10^{26}$ Вт
Видимая звёздная величина Солнца $m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца $M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца $T_{\odot} = 5800$ К
Солнечная постоянная $E_{\odot} = 1360.8$ Вт м $^{-2}$
Тропический год $= 365.24219$ сут
Звёздные сутки $T_{\text{☾}} = 23$ ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике $\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц $S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны $m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике $= 10 \times 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики $= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца) $= 2 \times 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная $G = 6.674 \times 10^{-11}$ м $^3$ кг $^{-1}$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме $c = 2.998 \times 10^{8}$ м с $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}$ кг с $^{-3}$ К $^{-4}$
Масса протона $m_{\mathrm{p}} = 1.67 \times 10^{-27}$ кг
Астрономическая единица 1 а.е. $= 1.496 \times 10^{11}$ м
Парсек 1 пк $= 3.086 \times 10^{16}$ м

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989 \times 10^{30}$	697	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302 \times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869 \times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974 \times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348 \times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419 \times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899 \times 10^{27}$	71.5	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685 \times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683 \times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024 \times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2023_teor_8_prob.pdf · официални решения: mos_astro_2023_teor_8_ans.pdf