МАО 2023, Теория, 8. клас — Задача 4

• $N = 3$, $M = 7$; ошибка в 7 суток накапливается за 35.2 года в греческом календаре и примерно за 1530 лет в персидском

Решение. Для ответа на первый вопрос задачи достаточно приближённых вычислений. Длина тропического года, 365.242 19, примерно на 11 дней и 6 часов больше длины 12 лунных месяцев ($12 \times 29.5 = 354$ сут). За 8 лет эта разница вырастает до примерно 90 дней. Тогда $N = 90/30 = 3$. За 19 лет тропический год опережает лунный примерно на 214 суток, что составляет $M = 7$ дополнительных месяцев.

Теперь определим погрешности календарей. Из того, что месяцы должны начинаться новолунием, следует невозможность простого чередования длины месяца 29 или 30 дней. Ведь тогда средняя длина календарного месяца немного короче, чем лунного, и начало месяца рано или поздно перестанет попадать на новолуние. Единственный выход — это более сложное чередование коротких и длинных месяцев так, чтобы средняя продолжительность месяца была как можно ближе к лунному. Поэтому будем просто считать среднюю продолжительность календарного месяца равной 29.53059 суток.

Восемь тропических лет состоят из 2921.938 дней, в то время как $8 \times 12 + 3 = 99$ месяцев — из $99 \times 29.53059 = 2923.528$ суток. Отсюда получаем что за 8 лет греческий календарь опережает тропический год на 1.59 суток, откуда следует, что на 7 суток календарь «убежит» за 35.2 года.

Аналогично, 19 лет содержат 6939.6018 дня, тогда как $19 \times 12 + 7 = 235$ месяцев — 6939.6887 суток. За 19 лет разница составляет всего 0.0869 суток или чуть более 2 часов. Отсюда получаем, что 7 суток разницы набегает за $19 \times 7/0.0869 \approx 1530$ лет.

Как мы видим, персидский календарь гораздо точнее греческой «октаэтериды». Позже греки тоже пытались использовать 19-летний цикл, который в науке остался известен как метонов.

Критерии проверки

1. Определение правильных значений $N$ и $M$ по 2 балла
2. Определение времени накопления ошибки по 2 балла

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(Е. Н. Фадеев)