Съдържание

МАО 2023, Теория, 9. клас — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2023

LXXVII Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2023 г. 9 класс · 8 т.

Условие

Второе и третье касания солнечного затмения произошли одновременно. Чему может быть равна (линейная) фаза затмения в этот момент?

Подсказка. Пусть $\rho_{\text{с}}$ и $\rho_{\text{л}}$ — угловые радиусы дисков Солнца и Луны соответственно, а $\delta$ — угловое расстояние между их центрами. Тогда фазой затмения называется

\Phi = \frac{\rho_{\text{с}} + \rho_{\text{л}} - \delta}{2\rho_{\text{с}}}.

Отговори

Решение

Решение. Для начала разберёмся с терминами. Для простоты рассмотрим центральное затмение, подразумевая, что для нецентрального затмения понятие «касания» можно определить сходным образом. Обозначим точки на диске Луны: $\mathrm{M}_1$ располагается на переднем краю лунного диска и первой заходит на диск Солнца, а $\mathrm{M}_2$ — на заднем краю так, чтобы последней с него сойти. Аналогичным образом обозначим на краю солнечного диска две точки $\mathrm{S}_1$ и $\mathrm{S}_2$ (см. рисунок).

Два касающихся снаружи диска: слева белый диск «Солнце» с точками $\mathrm{S}_1$ (левый край) и $\mathrm{S}_2$ (правый край), справа серый диск «Луна» с точками $\mathrm{M}_1$ (левый край) и $\mathrm{M}_2$ (правый край); под Луной стрелка, направленная влево.

Первым касанием называется момент, когда совмещаются точки $\mathrm{M}_1$ и $\mathrm{S}_2$ , вторым — точки $\mathrm{M}_1$ и $\mathrm{S}_1$ , третьим — $\mathrm{M}_2$ и $\mathrm{S}_2$ и, наконец, четвёртым — точки $\mathrm{M}_2$ и $\mathrm{S}_1$ . Между первым и вторым, а также между третьим и четвертым касаниями происходит частное затмение, а между вторым и третьим — полное или кольцеобразное. Зная это, можно дать ответ: если одновременно совпали точки $\mathrm{M}_1$ и $\mathrm{S}_1$ , а также $\mathrm{M}_2$ и $\mathrm{S}_2$ , то диски Луны и Солнца имеют одинаковые размеры, их центры совпадают, а значит, фаза затмения в точности равна 1.

Можно привести ещё один вариант достаточно тривиального решения для касательного затмения. Посмотрим на рисунок и представим, что лунный диск меньше солнечного, тогда, чем дальше центр лунного диска от центра солнечного, тем меньше времени проходит от второго до третьего касаний. Это время уменьшится до нуля, когда лунный диск коснётся солнечного изнутри (см. рис). Чему же равна фаза в этот момент?

Большой белый диск «Солнце» и внутри него меньший серый диск «Луна», касающийся его изнутри снизу; отмечены радиус Солнца $\rho_с$, радиус Луны $\rho_л$ и расстояние между центрами $\delta$.

Для того чтобы фаза была минимальная, необходимо, чтобы размер солнечного диска был максимальным, а лунного — минимальным. Максимального размера диск Солнца достигает в момент прохождения Землей перигелия, т. е.

\rho_{\text{с, max}} = \frac{2 \times 697\,000\ \text{км}}{1.496 \times 10^8 (1 - 0.0167)} \times 3438 = 32.58'.

Аналогично, минимальный размер лунного диска достигается при положении Луны в апогее:

\rho_{\text{л, max}} = \frac{2 \times 1738}{406\,700} \times 3438 = 29.38'.

При внутреннем касании расстояние между центрами максимального Солнца и минимальной Луны составит $\delta = \rho_{\text{с}} - \rho_{\text{л}}$ , откуда

\Phi = \frac{\rho_{\text{л}}}{\rho_{\text{с}}} \approx 0.9.

Очевидно, что при больших фазах вплоть до единицы при кольцеобразных затмениях эта ситуация может повториться. Но и при полных касательных затмениях эта ситуация повторяется. Однако при использовании данного в условии способа определения фазы затмений фаза полного касательного затмения всегда равна единице. Отсюда окончательный ответ:

\Phi \in [0.9, 1].

Критерии проверки

Решение при совпадении угловых размеров Солнца или Луны 1 балл
В этом случае фаза $\Phi = 1$ 1 балл
Рассмотрен вариант касательного кольцеобразного затмения 1 балл
Вычисление угловых размеров Солнца и Луны для крайнего случая по 1 баллу
Минимальная фаза $\Phi = 0.9$ 1 балл
Показано, что возможны все фазы от 0.9 до 1 2 балла

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(Е. Н. Фадеев)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике
Светимость Солнца	$L_{\odot} = 3.827 \times 10^{26}\ \text{Вт}$
Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца	$M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot} = 5800\ \text{К}$
Солнечная постоянная	$E_{\odot} = 1360.8\ \text{Вт м}^{-2}$
Тропический год	$= 365.24219\ \text{сут}$
Звёздные сутки	$T_{☾} = 23\ \text{ч}\ 56\ \text{мин}\ 04\ \text{с}$
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц	$S_{☾} = 29.530\,59\ \text{сут}$
Видимая звёздная величина полной Луны	$m_{☾} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике	$= 10 \times 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики	$= 20\ \text{кпк}$
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)	$= 2 \times 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные
Гравитационная постоянная	$G = 6.674 \times 10^{-11}\ \text{м}^3\ \text{кг}^{-1}\ \text{с}^{-2}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998 \times 10^{8}\ \text{м с}^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\ \text{кг с}^{-3}\ \text{К}^{-4}$
Масса протона	$m_{\mathrm{p}} = 1.67 \times 10^{-27}\ \text{кг}$
Астрономическая единица	$1\ \text{а.е.} = 1.496 \times 10^{11}\ \text{м}$
Парсек	$1\ \text{пк} = 3.086 \times 10^{16}\ \text{м}$

Формулы приближенного вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \operatorname{tg} x \approx x

\ln(1 + x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1 + x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцен-триситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989 \times 10^{30}$	697	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302 \times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869 \times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974 \times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348 \times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419 \times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899 \times 10^{27}$	71.5	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685 \times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683 \times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024 \times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2023_teor_9_prob.pdf · официални решения: mos_astro_2023_teor_9_ans.pdf