Съдържание

МАО 2023, Теория, 9. клас — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2023

LXXVII Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2023 г. 9 класс · 8 т.

Условие

Две звезды с массами $1\ M_{\odot}$ и $1.3\ M_{\odot}$ вращаются вокруг общего центра масс по круговым орбитам с периодом 1 год. Первая звезда полностью похожа на Солнце, а вторая — белый карлик с радиусом 10 000 км. Определите угловые размеры обеих звёзд в угловых секундах для наблюдателя, находящегося в центре масс.

Отговори

Решение

Решение. Рассмотрим задачу в системе отсчёта центра масс. Первая звезда двигается вокруг центра масс по окружности с радиусом $a_1$ и периодом $T = 1$ год. Вторая звезда двигается вокруг центра масс по окружности с радиусом $a_2$ и периодом $T = 1$ год. Суммарная полуось такой двойной системы $a = a_1 + a_2$ .

Найдём по третьему закону Кеплера большую полуось такой орбиты:

\frac{T^2}{T_{\oplus}^2} \cdot \frac{M_1 + M_2}{M_{\odot}} = \frac{a^3}{a_{\oplus}^3}

a = a_{\oplus} \sqrt[3]{T^2 \cdot \frac{M_1 + M_2}{M_{\odot}}} = a_{\oplus} \sqrt[3]{1^2 \times \frac{1M_{\odot} + 1.3M_{\odot}}{M_{\odot}}} = 1.32\ \text{а.е.}

Положение центра масс на оси $X$ можно определить с помощью известного выражения $x_{\text{ц.м.}} = \frac{M_1 x_1 + M_2 x_2}{M_1 + M_2}$ . Поместим начало координат в центр масс. Тогда можно записать

M_1 a_1 = M_2 a_2,

Подставив $a_1 = a - a_2$ из первого утверждения, получим:

M_1 a - M_1 a_2 = M_2 a_2

a_2 = \frac{M_1 a}{M_2 + M_1} = \frac{1.34M_{\odot}}{M_{\odot} + 1.4M_{\odot}} = 0.57\ \text{а.е.}

Расстояние первой звезды от центра масс равно

a_1 = a - a_2 = 0.75\ \text{а.е.}

Теперь найдём угловые размеры звёзд:

p'' = 206\,265''/\text{рад} \cdot \frac{D}{a}

p_1'' = 206\,265 \times \frac{2 \times 697\,000\ \text{км}}{0.82\ \text{а.е.} \times 1.5 \times 10^8\ \text{км/а.е.}} \approx 2580'' \approx 43',

p_2'' = 206\,265 \times \frac{2 \times 10\,000\ \text{км}}{0.56\ \text{а.е.} \times 1.5 \times 10^8\ \text{км/а.е.}} = 48''.

Критерии проверки

Определение большой полуоси системы $a$ 2 балла
Запись уравнения для центра масс 1 балл
Определение радиусов орбит двух звёзд $a_1$ и $a_2$ по 1 баллу
Запись формулы для углового размера 1 балл
Определение угловых размеров(диаметров!) звёзд по 1 баллу

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(В. Б. Игнатьев)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике
Светимость Солнца	$L_{\odot} = 3.827 \times 10^{26}\ \text{Вт}$
Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца	$M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot} = 5800\ \text{К}$
Солнечная постоянная	$E_{\odot} = 1360.8\ \text{Вт м}^{-2}$
Тропический год	$= 365.24219\ \text{сут}$
Звёздные сутки	$T_{☾} = 23\ \text{ч}\ 56\ \text{мин}\ 04\ \text{с}$
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц	$S_{☾} = 29.530\,59\ \text{сут}$
Видимая звёздная величина полной Луны	$m_{☾} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике	$= 10 \times 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики	$= 20\ \text{кпк}$
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)	$= 2 \times 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные
Гравитационная постоянная	$G = 6.674 \times 10^{-11}\ \text{м}^3\ \text{кг}^{-1}\ \text{с}^{-2}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998 \times 10^{8}\ \text{м с}^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\ \text{кг с}^{-3}\ \text{К}^{-4}$
Масса протона	$m_{\mathrm{p}} = 1.67 \times 10^{-27}\ \text{кг}$
Астрономическая единица	$1\ \text{а.е.} = 1.496 \times 10^{11}\ \text{м}$
Парсек	$1\ \text{пк} = 3.086 \times 10^{16}\ \text{м}$

Формулы приближенного вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \operatorname{tg} x \approx x

\ln(1 + x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1 + x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцен-триситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989 \times 10^{30}$	697	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302 \times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869 \times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974 \times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348 \times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419 \times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899 \times 10^{27}$	71.5	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685 \times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683 \times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024 \times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2023_teor_9_prob.pdf · официални решения: mos_astro_2023_teor_9_ans.pdf