Съдържание

МАО 2023, Теория, 9. клас — Задача 4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2023

LXXVII Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2023 г. 9 класс · 8 т.

Условие

Студент-астроном проводит визуальные наблюдения за двойными звёздами в студенческой обсерватории МГУ в рефракторе Цейсс-300 (диаметр объектива 250-мм, относительное отверстие 1:3.8). После наблюдений он решил навести телескоп на звезду главного здания МГУ (диаметр 7.5 м). На сколько миллиметров ему надо сдвинуть фокус окуляра и в какую сторону? Помогите ему определить фокусное расстояние окуляра, в котором звезда займёт все поле зрения целиком.

Расстояние от телескопа до Главного здания МГУ — 750 метров. Поле зрения окуляра — $60^{\circ}$ .

Отговори

Решение

Решение. Рассмотрим первый вопрос задачи. Обычно телескопы наводятся на астрономические объекты, которые удалены от нас на огромные расстояния. По условию задачи студент вначале наблюдал за астрономическим объектом, а после навел телескоп на объект, который находится вблизи. Запишем формулу тонкой линзы:

\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f},

где $F$ — это фокусное расстояние линзы, $d$ — расстояние от объекта до линзы, $f$ — расстояние от линзы до построенного изображения. Обратим внимание, что при наблюдении астрономических объектов $d$ стремится к бесконечности, следовательно, $f = F$ . То есть изображение строится в фокальной плоскости. Определим $f$ при наблюдении за звездой главного здания МГУ:

\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d}{dF} - \frac{F}{dF} = \frac{d - F}{dF}

Согласно условиям, фокусное расстояние телескопа $F = 3.8 \cdot D = 3.8 \cdot 0.25\ \text{м} = 0.95\ \text{м}$ . Тогда расстояние от центра линзы до изображения будет равно:

f = \frac{dF}{d - F} = \frac{750 \cdot 0.95}{750 - 0.95} = 0.9512\ \text{м}.

Это означает, что фокальную плоскость окуляра нужно отодвинуть от линзы на расстояние $0.9512 - 0.95$ метра. Это будет $0.0012$ метра или $1.2$ мм.

Перейдём ко второму вопросу задачи. Определим угловой размер звезды на шпиле главного здания МГУ.

\rho'' = \frac{206265D}{L},

где $D$ — это диаметр звезды 7.5 метров, а $L$ — это расстояние до звезды 750 метров.

Подставляем значения:

\rho'' = \frac{206265D}{L} \approx 2063'' = 34.4' = 0.57^{\circ}.

Ход лучей в телескопе: объектив (двусторонняя стрелка) в точке O на оптической оси, фокальная плоскость — вертикальная пунктирная линия через точку F (сверху отмечена A′, снизу A), окуляр (двусторонняя стрелка) в точке O′; отрезок OF подписан $F$, отрезок FO′ — $f'$; луч через O под углом $\frac{\rho}{2}$ к оси приходит в A, из A луч идёт в O′ под углом $\frac{\beta}{2}$ к оси.

Рассмотрим ход лучей в телескопе. Луч, идущий вдоль оптической оси телескопа, пройдёт через центры объектива O и окуляра O′ по прямой, пересекая фокальную плоскость в точке F. Луч, идущий от края звезды под углом $\frac{\rho}{2}$ , пройдя через точку O, пересечёт фокальную плоскость в точке А. Эта точка видна из окуляра под углом $\frac{\beta}{2}$ . Отрезок OF равен фокусному расстоянию объектива $F$ , а отрезок FO′ — фокусному расстоянию окуляра $f'$ . Здесь правильнее вместо фокусного расстояния $F$ использовать найденную нами ранее величину $f$ , но поскольку эти величины практически не отличаются, то будем и далее использовать величину $F$ .

Из треугольников OFA и O′FA получаем

F \operatorname{tg}(\rho/2) = f' \operatorname{tg}(\beta/2).

Здесь угол $\beta = 60^{\circ}$ — поле зрения окуляра. Обратим внимание, что угол $\beta/2$ достаточно велик, чтобы пользоваться упрощённой формулой для малых углов. Все величины нам известны, поэтому найдём фокусное расстояние окуляра:

f' = F \frac{\operatorname{tg} \rho/2}{\operatorname{tg} \beta/2} \approx 0.0082\ \text{м} = 8.2\ \text{мм}.

Для справки приведём ответ, который получился бы при использовании формулы малых углов:

f' = F \frac{\rho}{\beta} \approx 9.0\ \text{мм}.

Критерии проверки

Вычисление фокусного расстояния объектива 1 балл
Правильное использование ур-я тонкой линзы (1 за формулу + 1 за использование) 2 балла
Правильный численный ответ на первый вопрос 1 балл
Правильно указанное направление движения окуляра 1 балл
Определение углового размера звезды 1 балл
Определение фокусного расстояния окуляра 2 балла

Если участник использует приближение малых углов, то оценка за этап снижается на 1 балл при правильном вычислении.

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(В. Б. Игнатьев)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике
Светимость Солнца	$L_{\odot} = 3.827 \times 10^{26}\ \text{Вт}$
Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца	$M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot} = 5800\ \text{К}$
Солнечная постоянная	$E_{\odot} = 1360.8\ \text{Вт м}^{-2}$
Тропический год	$= 365.24219\ \text{сут}$
Звёздные сутки	$T_{☾} = 23\ \text{ч}\ 56\ \text{мин}\ 04\ \text{с}$
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц	$S_{☾} = 29.530\,59\ \text{сут}$
Видимая звёздная величина полной Луны	$m_{☾} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике	$= 10 \times 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики	$= 20\ \text{кпк}$
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)	$= 2 \times 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные
Гравитационная постоянная	$G = 6.674 \times 10^{-11}\ \text{м}^3\ \text{кг}^{-1}\ \text{с}^{-2}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998 \times 10^{8}\ \text{м с}^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\ \text{кг с}^{-3}\ \text{К}^{-4}$
Масса протона	$m_{\mathrm{p}} = 1.67 \times 10^{-27}\ \text{кг}$
Астрономическая единица	$1\ \text{а.е.} = 1.496 \times 10^{11}\ \text{м}$
Парсек	$1\ \text{пк} = 3.086 \times 10^{16}\ \text{м}$

Формулы приближенного вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \operatorname{tg} x \approx x

\ln(1 + x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1 + x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцен-триситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989 \times 10^{30}$	697	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302 \times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869 \times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974 \times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348 \times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419 \times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899 \times 10^{27}$	71.5	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685 \times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683 \times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024 \times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2023_teor_9_prob.pdf · официални решения: mos_astro_2023_teor_9_ans.pdf