Съдържание

МАО 2023, Теория, 9. клас — Задача 5

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2023

LXXVII Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2023 г. 9 класс · 8 т.

Условие

В спутник, обращающийся по круговой полярной орбите вокруг Луны на расстоянии 500 км от поверхности, врезался круглый метеороид плотностью $5.0\ \text{г/см}^3$ и застрял в нём. Столкновение произошло «в лоб» в момент, когда спутник находился над северным полюсом Луны, и уже через половину оборота спутник по касательной врезался в южный полюс Луны. Найдите радиус метеороида, если его скорость в момент столкновения была равна 13 км/с относительно Луны, а масса спутника до столкновения составляла 500 кг.

Отговори

Решение

Решение. Спутник двигался по круговой орбите, поэтому его скорость равна

v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R + h}} = 1.48\ \text{км/с}.

Здесь $M$ и $R$ — масса и радиус Луны, $h$ — высота спутника над поверхностью Луны, $G$ — гравитационная постоянная. Для того чтобы упасть на Луну по касательной на южный полюс, спутник должен двигаться по эллиптической орбите с периселением, равным радиусу Луны, и апоселением в точке столкновения. Если $r_p = R$ и $r_a = R + h$ — расстояния в периселении и апоселении, то эксцентриситет новой орбиты равен

e = \frac{r_a - r_p}{r_a + r_p} = \frac{h}{2R + h} \approx 0.126.

Тогда скорость после соударения равна

v = \sqrt{\frac{GM}{a} \frac{1 - e}{1 + e}} = v_0 \sqrt{1 - e} \approx 1.38\ \text{км/с}.

Заметим, что направление скорости спутника в результате столкновения может остаться таким же или поменяться на противоположное. Поскольку метеороид застрял в спутнике, будем считать столкновение абсолютно неупругим. Тогда изменение скорости можно найти из закона сохранения импульса системы спутник-метеороид. Запишем закон сохранения импульса для случая, когда спутник продолжает движение в ту же сторону:

m_0 v_0 - mV = (m_0 + m) v,

где $m_0$ — масса спутника, $m$ — масса метеороида, $V$ — скорость метеороида. Тогда масса метеороида равна

m = m_0 \frac{v_0 - v}{V + v} \approx 3.3\ \text{кг},

а его радиус

R = \sqrt[3]{\frac{3m}{4\pi\rho}} \approx 5.4\ \text{см}.

Если направление движения спутника меняется на противоположное, то закон сохранения импульса принимает вид

m_0 v_0 - mV = -(m_0 + m) v,

откуда $m = 123\ \text{кг}$ и радиус $R = 18\ \text{см}$ .

Критерии проверки

Нахождение скорости спутника 1 балл
Объяснение, что орбита, по которой падает спутник, — эллипс (может быть показано на рисунке) 1 балл
Нахождение эксцентриситета этого эллипса 1 балл
Указание на то, что столкновение абсолютно неупругое 1 балл
Нахождение скорости после соударения 1 балл
Указание на два случая направления итоговой скорости 1 балл
Радиус метеороида по 1 баллу

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(А. А. Автаева)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике
Светимость Солнца	$L_{\odot} = 3.827 \times 10^{26}\ \text{Вт}$
Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца	$M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot} = 5800\ \text{К}$
Солнечная постоянная	$E_{\odot} = 1360.8\ \text{Вт м}^{-2}$
Тропический год	$= 365.24219\ \text{сут}$
Звёздные сутки	$T_{☾} = 23\ \text{ч}\ 56\ \text{мин}\ 04\ \text{с}$
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц	$S_{☾} = 29.530\,59\ \text{сут}$
Видимая звёздная величина полной Луны	$m_{☾} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике	$= 10 \times 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики	$= 20\ \text{кпк}$
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)	$= 2 \times 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные
Гравитационная постоянная	$G = 6.674 \times 10^{-11}\ \text{м}^3\ \text{кг}^{-1}\ \text{с}^{-2}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998 \times 10^{8}\ \text{м с}^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\ \text{кг с}^{-3}\ \text{К}^{-4}$
Масса протона	$m_{\mathrm{p}} = 1.67 \times 10^{-27}\ \text{кг}$
Астрономическая единица	$1\ \text{а.е.} = 1.496 \times 10^{11}\ \text{м}$
Парсек	$1\ \text{пк} = 3.086 \times 10^{16}\ \text{м}$

Формулы приближенного вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \operatorname{tg} x \approx x

\ln(1 + x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1 + x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцен-триситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989 \times 10^{30}$	697	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302 \times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869 \times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974 \times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348 \times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419 \times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899 \times 10^{27}$	71.5	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685 \times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683 \times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024 \times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2023_teor_9_prob.pdf · официални решения: mos_astro_2023_teor_9_ans.pdf