Съдържание

МАО 2023, Теория, 9. клас — Задача 6

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2023

LXXVII Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2023 г. 9 класс · 12 т.

Условие

На рисунке представлен разложенный по отдельным кадрам видеофрагмент. Он был получен в средних широтах Земли в день равноденствия. На видеозаписи запечатлён полёт белоголового орлана, длина тела которого (от кончика клюва до конца хвоста) составляет 130 см. Частота следования кадров на видеозаписи была стандартной — 25 кадров/с. Угловой диаметр диска Солнца равен $32'$ .

Чёрно-белая фотография: частично закрытый Луной диск Солнца в виде широкого серпа рогами вверх, заметно сплюснутый по вертикали, низко в облачном небе; поперёк кадра горизонтальной цепочкой идут последовательные силуэты летящего орлана (кадры видео) с крыльями в разных фазах взмаха. В правом нижнем углу подпись: zev hoover, christian lockwood, zoe chakoian.

1. На каком расстоянии от птицы находилась камера?

2. Чему была равна частота взмахов крыльями?

3. Затмение какого типа наблюдал автор фотографии (дайте подробный ответ с обоснованием)?

4. На какой угловой высоте происходил пролёт орлана по диску небесного тела?

Опишите все сделанные измерения и операции полученными значениями.

$h$ , °	$\rho$ , ′	$h$ , °	$\rho$ , ′	$h$ , °	$\rho$ , ′	$h$ , °	$\rho$ , ′
90	0	30	1.7	5	9.9	2	18.4
70	0.4	20	2.6	4	11.8	1	24.7
50	0.8	10	5.3	3	14.4	0	35.4

$h$ — Видимая (искажённая рефракцией) высота в градусах, $\rho$ — величина рефракции в угловых минутах.

Отговори

Решение

Та же фотография, что и в условии: частично закрытый Луной сплюснутый диск Солнца в виде серпа рогами вверх и горизонтальная цепочка последовательных силуэтов летящего орлана. — Фотография Zev Hoover, Christian Lockwood, Zoe Chakoian.

Решение. 1. Мы видим, что по мере пролёта орлана через поле зрения камеры его угловые размеры не изменялись. Поэтому будем считать, что он летит перпендикулярно лучу зрения, попадающего в центр кадра. Для определения расстояния до птицы нам требуется знать её угловые размеры. На записи запечатлён какой-то момент солнечного затмения. Видно, что изображение Солнца сплюснуто по вертикали (это действие атмосферной рефракции). Таким образом, в качестве «линейки» мы можем использовать горизонтальный диаметр солнечного изображения.

Подсчитаем, сколько раз птица помещается на диаметре диска Солнца. Получаем примерно 17 раз, а значит, угловой размер одного изображения птицы равен $r = 32'/17 \approx 113''$ . Под таким углом птица длиной $l = 130\ \text{см}$ будет видна с расстояния

L = l/r = 1.3/(113/206\,265) \approx 2400\ \text{м}.

Частота следования кадров на видеозаписи равна 25 Гц (25 кадров в секунду). Хорошо видно, что между положениями крыльев птицы, находящимися в одинаковой фазе (например, максимально поднятыми), проходит 10 кадров. Это число можно получить несколько раз, подсчитав его на разных промежутках траектории птицы, или подсчитав число изображений птицы между крайним левым и крайним правым её изображениями, видимыми на рисунке. Это означает, что частота взмахов крыльями птицы в 10 раз меньше частоты следования кадров, т.е. она равна 2.5 Гц.
Мы наблюдаем солнечное затмение низко над горизонтом (см. п. 4 решения) во время равноденствия. При этом Солнце или восходит, или заходит. Нарисуем рисунок для случая восхода на широте $45^{\circ}$ (это будет и углом между экватором и горизонтом в точке востока) в день осеннего равноденствия:

Построение для восхода в день осеннего равноденствия на широте 45°: жёлтый сплюснутый диск Солнца и серый контур диска Луны; через центр проведены чёрная линия «экватор» (наклон 45°), красная крутая линия «эклиптика», синяя и зелёная линии — крайние положения орбиты Луны, а также светло-зелёная параллельная линия.

Чтобы отметить положения дисков небесных тел, мы провели на фотографии соответствующие сплюснутые окружности. Орбита Луны наклонена к плоскости эклиптики примерно на $5^{\circ}$ , т. е. на рисунке она лежит между крайними её положениями, отмеченными синей и зелёной линиями, проходящими через центр диска Луны. Синяя линия пересекает эклиптику выше точки равноденствия, зелёная — ниже. И Солнце, и Луна относительно точки равноденствия движутся вниз на рисунке. Скорость движения Луны более, чем в 10 раз выше, чем у Солнца, поэтому будем считать диск Солнца неподвижным. Из построения видно, что касания Солнца левым краем диска Луны не произойдёт — затмение будет частным.

Нарисуем рисунок для случая захода в день осеннего равноденствия:

Построение для захода в день осеннего равноденствия: жёлтый сплюснутый диск Солнца и серый контур диска Луны; чёрная линия «экватор» идёт сверху слева вниз направо, красная линия «эклиптика» и синие и зелёные линии (крайние положения орбиты Луны) полого спускаются слева направо.

Обозначения на рисунке такие же, и из построения видно, что касания Солнца правым краем диска Луны не произойдёт — затмение будет частным.

Нарисуем рисунок для случая восхода в день весеннего равноденствия:

Построение для восхода в день весеннего равноденствия: жёлтый сплюснутый диск Солнца и серый контур диска Луны; чёрная линия «экватор» поднимается слева направо под 45°, красная линия «эклиптика» и синие и зелёные линии (крайние положения орбиты Луны) полого поднимаются слева направо.

Рассмотрим рисунок для случая захода Солнца в день весеннего равноденствия.

Обозначения на рисунке такие же, и из построения видно, что касание правых краёв дисков потенциально возможно (и в этом случае оно произошло ранее момента наблюдения), однако точность нашего построения не позволяет утверждать это однозначно. Из-за того, что Луна имеет меньший угловой размер, чем Солнце, может наблюдаться кольцеобразное солнечное затмение.

Таким образом, вероятнее всего, что затмение было частным, однако существует некоторая вероятность того, что оно было кольцеобразным.

Построение для захода в день весеннего равноденствия: жёлтый сплюснутый диск Солнца и серый контур диска Луны; чёрная линия «экватор» идёт сверху слева вниз направо, крутая красная линия «эклиптика», синие и зелёные линии (крайние положения орбиты Луны) спускаются круто вниз вправо.

На изображении хорошо заметна сплюснутость диска Солнца, вызванная атмосферной рефракцией. Измерим максимальный диаметр диска Солнца на изображении, найдём центр диаметра и измерим расстояние от него до крайней нижней точки диска. Вне атмосферы отношение диаметра и радиуса должно быть равно 2. У нас получилось отношение примерно 2.15. При угловом диаметре диска Солнца в $32'$ это даёт угловой радиус, искажённый рефракцией, равный $14.9'$ . Значит рефракция «съела» $1.1'$ .

Рефракция поднимает над горизонтом как центр диска Солнца, так и его нижний край, но нижний край она поднимает сильнее, т.к. он имеет на $16'$ большее зенитное расстояние. Отсюда становится понятным, что нам надо найти ту высоту, при которой разница в $16'$ даст разницу в эффекте в $1'$ .

Обратимся к таблице. Посчитав разности углов рефракции на соседних высотах, обнаружим, что для высот $2^{\circ}$ и $3^{\circ}$ она составляет $4'$ . Тогда разность высот в $0.25^{\circ}$ даст требуемую разность углов рефракции $1'$ . Значит, орлан летел на высоте около $2.5^{\circ}$ .

Ответ: 1) 2.4 км, 2) 2.5 Гц, 3) частное солнечное затмение, 4) примерно 3°.

Критерии проверки

Ответ на первый вопрос в диапазоне 2.2 — 2.6 км при условии верного решения 3 балла

Если для измерения угловых размеров птицы использовалось сравнение одной тушки с диском Солнца, то оценка снижается на 2 балла даже при верном ответе.

Если при верном подходе к решению ошибка в ответе вызвана ошибкой в измерениях, то оценка снижается на 2 балла.
Ответ на второй вопрос в диапазоне 2.2 — 2.9 Гц при условии верного решения 3 балла

Если для определения частоты использовалось одно измерение расстояния (в тушках) между ближайшими одинаковыми фазами (т.е. не проводилось ни усреднение нескольких значений, ни измерения на максимально возможном интервале), то оценка снижается на 1 балл.

Если при верном подходе к решению ошибка в ответе вызвана ошибкой в измерениях, то оценка снижается на 2 балла.
Ответ на вопрос 3 оценивается не более чем в 2 балла

При оценивании этого пункта следует принять во внимание:
ответ о том, что наблюдается частная фаза солнечного затмения, оценивается в 1 балл;
ответ о том, что наблюдается частная фаза частного солнечного затмения с объяснением, почему это не может быть полное солнечное затмение, оценивается в 2 балла;
указание на то, что затмение было кольцевым, оценивается в 1 балл;
если представлено доказательство возможности этого, кроме того, что угловые размеры Луны меньше солнечных, ставится 2 балла.

Ответ о том, что наблюдается частная фаза солнечного затмения без объяснения, — 1 балл.
Указание на сплюснутость диска Солнца как на результат действия атмосферной рефракции 1 балл
Верное вычисление сплюснутости с ответом (в зависимости от способа может быть получено как отношение диаметра к радиусу 2.1–2.3, так и сразу величина сплюснутости 1-2’) 1 балл
Верное определение высоты (от $1^{\circ}$ до $4^{\circ}$ — в зависимости от найденной ранее величины сплюснутости) 2 балла

Максимальная оценка за задачу 12 баллов.

(А. М. Татарников)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике
Светимость Солнца	$L_{\odot} = 3.827 \times 10^{26}\ \text{Вт}$
Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца	$M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot} = 5800\ \text{К}$
Солнечная постоянная	$E_{\odot} = 1360.8\ \text{Вт м}^{-2}$
Тропический год	$= 365.24219\ \text{сут}$
Звёздные сутки	$T_{☾} = 23\ \text{ч}\ 56\ \text{мин}\ 04\ \text{с}$
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц	$S_{☾} = 29.530\,59\ \text{сут}$
Видимая звёздная величина полной Луны	$m_{☾} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике	$= 10 \times 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики	$= 20\ \text{кпк}$
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)	$= 2 \times 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные
Гравитационная постоянная	$G = 6.674 \times 10^{-11}\ \text{м}^3\ \text{кг}^{-1}\ \text{с}^{-2}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998 \times 10^{8}\ \text{м с}^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\ \text{кг с}^{-3}\ \text{К}^{-4}$
Масса протона	$m_{\mathrm{p}} = 1.67 \times 10^{-27}\ \text{кг}$
Астрономическая единица	$1\ \text{а.е.} = 1.496 \times 10^{11}\ \text{м}$
Парсек	$1\ \text{пк} = 3.086 \times 10^{16}\ \text{м}$

Формулы приближенного вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \operatorname{tg} x \approx x

\ln(1 + x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1 + x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцен-триситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989 \times 10^{30}$	697	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302 \times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869 \times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974 \times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348 \times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419 \times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899 \times 10^{27}$	71.5	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685 \times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683 \times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024 \times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2023_teor_9_prob.pdf · официални решения: mos_astro_2023_teor_9_ans.pdf