Съдържание

МАО 2024, Теория, 10. клас — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2024

LXXVIII Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2024 г. 10 класс · 8 т.

Условие

На рисунке показан астероид, состоящий из двух слипшихся фрагментов сферической формы. Радиус большего фрагмента $r_1$ в 1.5 раза больше второго, а его плотность $\rho_1$ а 2 раза меньше. Вещество в обоих фрагментах распределено равномерно. Во сколько раз ускорение свободного падения в точках Б, В, Г, Д больше или меньше, чем в точке А? Определите угол вектора ускорения свободного падения с нормалью в точках Б и Г, а также его направление в точке В.

Две касающиеся окружности: большая с радиусом $r_1$ и плотностью $\rho_1$, меньшая справа с радиусом $r_2$ и плотностью $\rho_2$. Точки: А — левый край большой окружности, Б — её верхняя точка, В — точка касания, Г — верхняя точка малой окружности, Д — её правый край.

Отговори

Решение

Решение. Каждый из фрагментов астероида притягивает пробное тело, как материальная точка, помещённая в центр этого фрагмента, поэтому ускорение свободного падения в каждой из обозначенных точек каждый раз будет векторной суммой двух ускорений.

Определим ускорение свободного падения в точке А:

a_{\text{А}} = \frac{Gm_1}{r_1^2} + \frac{Gm_2}{(2r_1 + r_2)^2} = \frac{Gm_1}{R_1^2}\left[1 + \frac{m_2/m_1}{(2 + r_2/r_1)^2}\right].

Здесь $m_1$ и $m_2$ — массы фрагментов. В итоговом выражении величина в скобках зависит только от отношений величин, которые мы можем вычислить, тогда как второй множитель, представляющий собой ускорение свободного падения на поверхности первого фрагмента в отсутствии второго, нам не известен. Однако поскольку нам требуется найти отношение ускорений, то вычислять его и не надо. Достаточно искомое ускорение вычислить в таком же виде.

Для упрощения вычислений введём следующие величины:

a_0 = \frac{Gm_1}{r_1^2}, \qquad r = \frac{r_2}{r_1} = \frac{2}{3}, \qquad \mu = \frac{m_2}{m_1} = \frac{\rho_2 r_2^3}{\rho_1 r_1^3} = \frac{2}{1.5^3} \approx 0.593.

Тогда ускорение в точке А равно

a_{\text{А}} = a_0\left[1 + \frac{\mu}{(2 + r)^2}\right] \approx 1.08a_0.

В точке Д ускорения сонаправлены, следовательно,

a_{\text{Д}} = \frac{Gm_1}{(r_1 + 2r_2)^2} + \frac{Gm_2}{r_2^2} = a_0\left[\frac{1}{(1 + 2r)^2} + \frac{\mu}{r^2}\right] \approx 1.52a_0.

Итого, в точке Д ускорение свободного падения в 1.4 раза больше, чем в точке А.

В точке В ускорения каждого из фрагментов направлены всё также вдоль одной линии, но в разные стороны. Тогда

a_{\text{В}} = \frac{Gm_2}{r_2^2} - \frac{Gm_1}{r_1^2} = a_0\left(\frac{\mu}{r^2} - 1\right) \approx 0.33a_0.

Значит, в точке В ускорение свободного падения в 3.3 раза меньше, чем в А, и направлено в сторону второго фрагмента.

Перейдём к оставшимся более сложным случаям. В точке Б угол между направлениями ускорений $a_{\text{Б}1}$ и $a_{\text{Б}2}$ (см. рисунок ниже) равен

\alpha_{\text{Б}} = \mathrm{arctg}\,\frac{r_1 + r_2}{r_1} = \mathrm{arctg}(1 + r) \approx 59^{\circ}.

Тогда искомое ускорение находим из теоремы косинусов:

a_{\text{Б}} = \sqrt{\frac{G^2m_1^2}{r_1^4} + \frac{G^2m_2^2}{(2r_1^2 + 2r_1r_2 + r_2^2)^2} - \frac{2G^2m_1m_2}{2r_1^4 + 2r_1^3r_2 + r_1^2r_2^2}\cos(180^{\circ} - \alpha_{\text{Б}})} = a_0\sqrt{1 + \frac{\mu^2}{(2 + 2r + r^2)^2} + \frac{2\mu}{2 + 2r + r^2}\cos\alpha_{\text{Б}}} \approx 1.09a_0.

Векторная схема: слева точка Б с векторами $a_{\text{Б}1}$ (вниз) и $a_{\text{Б}2}$ (вправо-вниз), их сумма $a_{\text{Б}}$, углы $\beta_{\text{Б}}$ и $\alpha_{\text{Б}}$, отрезок $r_1$; справа точка Г с векторами $a_{\text{Г}1}$ (влево-вниз) и $a_{\text{Г}2}$ (вниз), сумма $a_{\text{Г}}$, углы $\beta_{\text{Г}}$ и $\alpha_{\text{Г}}$, отрезок $r_2$; внизу горизонтальный отрезок $r_1 + r_2$ и две диагонали, соединяющие точки с центрами фрагментов.

Ускорение $a_{\text{Б}}$ почти равно (чуть больше) ускорению $a_{\text{А}}$ . Угол $\beta_{\text{Б}}$ к нормали находим из теоремы синусов:

\frac{a_{\text{Б}}}{\sin(180^{\circ} - \alpha_{\text{Б}})} = \frac{a_{\text{Б}2}}{\sin\beta_{\text{Б}}} \quad \Rightarrow \quad \beta_{\text{Б}} = \arcsin\left(\frac{a_{\text{Б}2}}{a_{\text{Б}}}\sin\alpha_{\text{Б}}\right) \approx 7.1^{\circ}.

Здесь мы учли, что ускорение $a_{\text{Б}2}$ можно представить в виде

a_{\text{Б}2} = \frac{Gm_2}{2r_1^2 + 2r_1r_2 + r_2^2} = a_0\frac{\mu}{2 + 2r + r^2} \approx 0.16a_0.

Для точки Г повторяем все вычисления сходным образом. Угол между направлениями векторов $a_{\text{Г}1}$ и $a_{\text{Г}2}$ :

\alpha_{\text{Г}} = \mathrm{arctg}\,\frac{r_1 + r_2}{r_2} = \mathrm{arctg}\left(\frac{1}{r} + 1\right) \approx 68.2^{\circ}.

Ускорение свободного падения

a_{\text{Г}} = \sqrt{\frac{G^2m_2^2}{r_2^4} + \frac{G^2m_1^2}{(r_1^2 + 2r_1r_2 + 2r_2^2)^2} + \frac{2G^2m_1m_2}{r_1^2r_2^2 + 2r_1r_2^3 + 2r_2^4}\cos\alpha_{\text{Г}}} = a_0\sqrt{\frac{\mu^2}{r^4} + \frac{1}{(1 + 2r + 2r^2)^2} + \frac{2\mu}{r^2 + 2r^3 + 2r^4}\cos\alpha_{\text{Г}}} \approx 1.48a_0.

Оно оказалось больше, чем в точке А, в 1.2 раза. Угол к нормали равен

\beta_{\text{Г}} = \arcsin\left(\frac{a_{\text{Г}1}}{a_{\text{Г}}}\sin\alpha_{\text{Г}}\right) \approx 11^{\circ}.

Критерии проверки

Выражение для ускорения в точке А 1 балл
Искомые отношения ускорений по 1 баллу

Если формулы для ускорений в точках Б $\ldots$ Д записаны верно, то оценивается с учётом возможной ошибки на этапе 1.
Вычисление $\beta$ по 1 баллу
Направление в точке В 1 балл

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(Е. Н. Фадеев)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца — $L_{\odot} = 3.827 \cdot 10^{26}$ Вт
Видимая звёздная величина Солнца — $m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца — $M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца — $T_{\odot} = 5800\,\mathrm{K}$
Солнечная постоянная — $E_{\odot} = 1360.8$ Вт м $^{-2}$
Поток солнечной энергии в видимых лучах на расстоянии Земли — $= 600$ Вт м $^{-2}$
Тропический год — $= 365.24219$ сут
Звёздные сутки — $= 23$ ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике — $\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц — $S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны — $m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике — $= 10 \cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики — $= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца) — $= 2 \cdot 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная — $G = 6.674 \cdot 10^{-11}$ м $^3$ кг $^{-1}$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме — $c = 2.998 \cdot 10^{8}$ м с $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана — $\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}$ кг с $^{-3}$ К $^{-4}$
Постоянная Планка — $\mathrm{h} = 6.626 \cdot 10^{-34}$ Дж с
Масса протона — $m_{\mathrm{p}} = 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг
Астрономическая единица — 1 а. е. $= 1.496 \cdot 10^{11}$ м
Парсек — 1 пк $= 3.086 \cdot 10^{16}$ м
Время накопления сигнала глазом — $= 0.05$ с

Формулы приближённого вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \mathrm{tg}\, x \approx x

\ln(1+x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989\times10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302\times10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869\times10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974\times10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348\times10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419\times10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899\times10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685\times10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683\times10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024\times10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2024_teor_10_exam.pdf · официални решения: mos_astro_2024_teor_10_ans.pdf