Съдържание

МАО 2024, Теория, 10. клас — Задача 4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2024

LXXVIII Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2024 г. 10 класс · 8 т.

Условие

Инопланетяне решили создать гигантский «гирляндный шар», для чего покрыли поверхность далёкой экзопланеты земного радиуса множеством лампочек. Раз в 2 часа этот шар загорается на микросекунду, после чего гаснет. Суммарная излучённая шаром (всеми лампочками) в фильтре V за вспышку энергия $Q = 2 \cdot 10^{21}$ Дж. Будет ли виден этот шар невооружённым глазом с Земли? Какую звёздную величину покажет высокоскоростной чувствительный фотометр со временем накопления $\delta t = 2$ мс, и как она будет изменяться во время вспышки? Расстояние до экзопланеты $L = 10$ пк. Считайте, что в процессе вспышки все лампочки загораются одновременно и каждая при этом излучает изотропно. Поверхность планеты чёрная. Влиянием атмосферы Земли пренебрегите.

Отговори

Решение

Решение. Луч света проходит радиус Земли за время $t = R_{\oplus}/c = 6370/300000 \approx 0.021 =21$ мс. Эта величина меньше времени накопления сигнала глазом $\Delta t = 50$ мс (см. справочные данные), но больше времени накопления фотометра $\delta t$ . Поэтому для глаза это будет краткая вспышка, за время которой будет получена вся дошедшая до него энергия, тогда как фотометр в течение нескольких тактов работы будет способен фиксировать динамику вспышки.

Каждая лампочка излучает во все стороны, при этом половина излучения попадает в поверхность планеты и полностью поглощается. Поэтому энергия, излучённая в пространство во время вспышки, равна $Q/2$ . Эта энергия распределится на сферу площадью $4\pi L^2$ . Поскольку время экспозиции глаза $\Delta t$ , получим освещённость на Земле от вспышки

E = \frac{Q/2}{4\pi L^2 \Delta t} = \frac{10^{21}}{4 \cdot \pi \cdot (10 \cdot 3.09 \cdot 10^{16})^2 \cdot 0.05} \approx 1.7 \cdot 10^{-14}\ \text{Вт/м}^2.

В полосе V от Солнца к Земле приходит 600 Вт/м $^2$ (см. справочные данные). Учитывая, что видимая звёздная величина Солнца $-26.8$ , получаем видимую звёздную величину шара для глаза

m_{\text{г}} = -26.8 - 2.5\lg\frac{1.7 \cdot 10^{-14}}{600} \approx 14.6^{\mathrm{m}}.

Очевидно, что такой тусклый объект рассмотреть не удастся.

В отличие от глаза, фотометр будет принимать излучение от шара в несколько этапов. На первом этапе до него доберутся фотоны, излучённые ближайшей частью шара, на следующем — из кольца вокруг предыдущей зоны и т.д. Время свечения шара на три порядка меньше времени регистрации сигнала и на результат не влияет.

Окружность радиуса $R_{\oplus}$ (зелёная стрелка из центра); из центра и от нижней части окружности вправо идут горизонтальные синие стрелки с подписью «К наблюдателю»; у нижнего края отмечен малый отрезок (красная стрелка) и подпись $c_0 \cdot \delta t$.

Из рисунка ясно, что искомая физическая площадь шара $S$ , одномоментно видимая горящей, равна площади шарового слоя с высотой $c\delta t$ :

S = 2\pi R_{\oplus} \cdot c\delta t

Таким образом, все шаровые слои будут иметь равную площадь, а значит, фотометр будет фиксировать каждый раз равное число фотонов, то есть яркость шара в течение всего времени наблюдения вспышки будет постоянной, за исключением первого и последнего отсчётов, когда свет может приходить не всё время экспозиции.

Вспышка длится $t/\delta t \approx 10$ времён экспозиции. На столько же уменьшается принимаемая фотометром энергия за время $\delta t$ . Значит, в течение измерения освещённость фотометра составит

E_2 = \frac{Q/2}{4\pi L^2 \frac{t}{\delta t}\delta t} = \frac{Q/2}{4\pi L^2 t} = \frac{10^{21}}{4 \cdot \pi \cdot (10 \cdot 3.09 \cdot 10^{16})^2 \cdot 0.021} \approx 4 \cdot 10^{-14}\ \text{Вт/м}^2,

что соответствует звёздной величине

m_{\text{ф}} = -26.8 - 2.5\lg\frac{4 \cdot 10^{-14}}{600} \approx 13.6^{\mathrm{m}}.

Критерии проверки

Продолжительность вспышки 21 мс 1 балл
Фотометр «видит» расходящиеся кольца 1 балл
Блеск во время вспышки постоянный 1 балл
Половина энергии, излучённой лампочками, поглощается планетой 1 балл

Если этот этап не сделан, остальные оцениваются в полном объёме.
Освещённость при наблюдении глазом 1 балл
Звёздная величина при наблюдении глазом 1 балл
Освещённость при наблюдении фотометром 1 балл
Звёздная величина при наблюдении фотометром 1 балл

Если этапы 5 и 7 выполнены неверно, то за этапы 6 и 8 вместе выставляется всего 1 балл при условии правильного выполнения.

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(А. М. Ажакин)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца — $L_{\odot} = 3.827 \cdot 10^{26}$ Вт
Видимая звёздная величина Солнца — $m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца — $M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца — $T_{\odot} = 5800\,\mathrm{K}$
Солнечная постоянная — $E_{\odot} = 1360.8$ Вт м $^{-2}$
Поток солнечной энергии в видимых лучах на расстоянии Земли — $= 600$ Вт м $^{-2}$
Тропический год — $= 365.24219$ сут
Звёздные сутки — $= 23$ ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике — $\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц — $S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны — $m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике — $= 10 \cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики — $= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца) — $= 2 \cdot 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная — $G = 6.674 \cdot 10^{-11}$ м $^3$ кг $^{-1}$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме — $c = 2.998 \cdot 10^{8}$ м с $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана — $\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}$ кг с $^{-3}$ К $^{-4}$
Постоянная Планка — $\mathrm{h} = 6.626 \cdot 10^{-34}$ Дж с
Масса протона — $m_{\mathrm{p}} = 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг
Астрономическая единица — 1 а. е. $= 1.496 \cdot 10^{11}$ м
Парсек — 1 пк $= 3.086 \cdot 10^{16}$ м
Время накопления сигнала глазом — $= 0.05$ с

Формулы приближённого вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \mathrm{tg}\, x \approx x

\ln(1+x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989\times10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302\times10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869\times10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974\times10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348\times10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419\times10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899\times10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685\times10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683\times10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024\times10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2024_teor_10_exam.pdf · официални решения: mos_astro_2024_teor_10_ans.pdf