Съдържание

МАО 2024, Теория, 10. клас — Задача 6

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2024

LXXVIII Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2024 г. 10 класс · 8 т.

Условие

Для наблюдателя на Земле Ганимед скрылся за Юпитером, находящимся в восточной квадратуре. За какой край диска Юпитера, светлый или тёмный, зашёл Ганимед? Через какое время спутник снова можно будет видеть земному наблюдателю и как долго он будет оставаться видимым? Орбиты планет и спутника круговые, лежащие в одной плоскости. Смещением Юпитера и Земли по орбите за несколько дней пренебречь.

Радиус орбиты Ганимеда — $1.07 \cdot 10^{6}$ км.

Отговори

Решение

Решение. На возможность наблюдения Ганимеда влияют два фактора. Во-первых, он невидим, пока находится за Юпитером по отношению к земному наблюдателю. Во-вторых, когда он находится в тени Юпитера, его не освещает Солнце, и он, опять же, недоступен для наблюдения. При этом, если Ганимед входит в тень Юпитера, находясь за Юпитером для земного наблюдателя, то его период невидимости просто оказывается длинным. Однако возможен и другой вариант: спутник сначала появляется из-за диска планеты, становясь видимым, и только затем пропадает в тени.

Юпитер находится в восточной квадратуре, то есть наблюдается в $90^{\circ}$ к востоку от Солнца. Значит, небольшая часть ночной стороны Юпитера должна быть видна с восточного края его диска, а спутник заходит за западный, то есть освещённый край.

Изобразим на рисунке Юпитер, орбиту Ганимеда, направления на Землю и Солнце, тень Юпитера и зону, в которой не видно спутник с Земли.

Схема: круг «Юпитер» (закрашен серым) в центре большой окружности «Орбита Ганимеда». От Юпитера вниз пунктир «к Земле», вправо-вниз пунктир «к Солнцу», угол между ними $\alpha$. Вверх от Юпитера идут две параллельные линии — зона, где спутник не виден с Земли; от центра к точке их пересечения с орбитой проведён отрезок, угол $\beta$. Влево-вверх уходит светло-серая полоса тени Юпитера.

Юпитер находится в 5.2 раза дальше от Солнца, чем Земля, а значит, угловой размер Солнца при наблюдении с Юпитера во столько же раз меньше, то есть около $6'$ . Этой величине равен угол схождения тени Юпитера. На расстоянии Ганимеда тень меньше диаметра Юпитера примерно на 2.5%, чем можно пренебречь. Угловой диаметр Юпитера при наблюдении с Земли ещё меньше, $38''$ , так что расширением зоны невидимости спутника также можно пренебречь.

Теперь задача становится совсем простой. Дуга орбиты Юпитера, на которой он не виден с Земли, равна дуге, находящейся в тени Юпитера. Её величина равна

2\beta = 2\arcsin\frac{R_{\text{Ю}}}{r_{\text{Г}}} \approx 7.5^{\circ}.

Здесь $R_{\text{Ю}}$ — радиус Юпитера, $r_{\text{Г}}$ — радиус орбиты Ганимеда. Поскольку угол между направлениями на Солнце и Землю равен

\alpha = \arcsin\frac{a_{\text{З}}}{a_{\text{Ю}}} \approx 11^{\circ},

где $a_{\text{З}} = 1$ а. е. — радиус орбиты Земли, а $a_{\text{Ю}}$ — радиус орбиты Юпитера, то два участка невидимости Ганимеда не пересекаются.

Период обращения Ганимеда вокруг Юпитера можно найти из третьего закона Кеплера:

T = 2\pi\sqrt{\frac{r_{\text{Г}}^3}{GM_{\text{Ю}}}} \approx 7.15\ \text{сут}.

Тогда Ганимед появится из-за диска Юпитера через

t_1 = \frac{2\beta}{360^{\circ}}T = \frac{7.5^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 7.15 \approx 3.6\ \text{ч}

и будет виден до захода в тень в течение

t_2 = \frac{\alpha - 2\beta}{360^{\circ}}T = \frac{11^{\circ} - 7.5^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 7.15 \approx 1.7\ \text{ч}.

Замечание. Если бы мы не пренебрегли сужением тени Юпитера, то получили бы, что тень закрывает $7.4^{\circ}$ орбиты Ганимеда и время видимости спутника перед заходом в тень примерно на 0.1 часа или 7 минут больше.

Критерии проверки

Правильное определение края диска Юпитера 1 балл
Вычисление периода Ганимеда 1 балл
Определение дуги орбиты Ганимеда, на которой он покрывается Юпитером 1 балл
Определение времени покрытия 1 балл
Указание на то, что Ганимед будет попадать в тень Юпитера 1 балл
Вычисление угла $\alpha$ 1 балл
Вывод о том, что после выхода из-за диска Юпитера до захода в тень есть период видимости 1 балл
Определение времени видимости перед заходом в тень 1 балл

Если участник забыл о существовании тени Юпитера, оценка за задачу не может превышать 4 баллов.

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(В. Б. Игнатьев)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца — $L_{\odot} = 3.827 \cdot 10^{26}$ Вт
Видимая звёздная величина Солнца — $m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца — $M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца — $T_{\odot} = 5800\,\mathrm{K}$
Солнечная постоянная — $E_{\odot} = 1360.8$ Вт м $^{-2}$
Поток солнечной энергии в видимых лучах на расстоянии Земли — $= 600$ Вт м $^{-2}$
Тропический год — $= 365.24219$ сут
Звёздные сутки — $= 23$ ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике — $\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц — $S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны — $m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике — $= 10 \cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики — $= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца) — $= 2 \cdot 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная — $G = 6.674 \cdot 10^{-11}$ м $^3$ кг $^{-1}$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме — $c = 2.998 \cdot 10^{8}$ м с $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана — $\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}$ кг с $^{-3}$ К $^{-4}$
Постоянная Планка — $\mathrm{h} = 6.626 \cdot 10^{-34}$ Дж с
Масса протона — $m_{\mathrm{p}} = 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг
Астрономическая единица — 1 а. е. $= 1.496 \cdot 10^{11}$ м
Парсек — 1 пк $= 3.086 \cdot 10^{16}$ м
Время накопления сигнала глазом — $= 0.05$ с

Формулы приближённого вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \mathrm{tg}\, x \approx x

\ln(1+x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989\times10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302\times10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869\times10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974\times10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348\times10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419\times10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899\times10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685\times10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683\times10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024\times10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2024_teor_10_exam.pdf · официални решения: mos_astro_2024_teor_10_ans.pdf