Съдържание

МАО 2024, Теория, 10. клас — Задача 7

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2024

LXXVIII Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2024 г. 10 класс · 0 т.

Условие

В таблице ниже приведена лучевая скорость звезды спектрального класса G2V в зависимости от времени, прошедшего с момента центрального прохождения планеты по диску звезды. Из наблюдений известно, что средняя лучевая скорость звезды составляет $V_{r_0} = 46.5670 \pm 0.0003$ км/с, а период системы, с высокой точностью, $T = 980.4$ дней, при этом планета в системе одна. Предполагая, что орбита планеты круговая, найдите её массу и оцените погрешность определения. Погрешность определения лучевой скорости в каждой отдельном измерении около 5 м/с.

$V_r$ , км/с	t, сут	$V_r$ , км/с	t, сут	$V_r$ , км/с	t, сут
46.574	57.071	46.579	95.124	46.579	112.289
46.578	65.781	46.573	55.459	46.580	120.981
46.578	86.014	46.575	76.865	46.581	122.354
46.581	94.097	46.582	110.396	46.585	134.461

Отговори

Решение

Решение. К сожалению, в условие задачи закралась ошибка. Как совершенно правильно заметили некоторые участники, после прохождения планеты по диску звезды лучевая скорость звезды должна была не расти, а уменьшаться. Судя по решениям, одна часть участников вообще не заметила данной проблемы, другая заметила, но правильно определила смысл задачи и продолжила решение. Но оказалось значительное число участников, которые, столкнувшись с этой проблемой, не смогли её преодолеть. Поэтому мы исключили эту задачу из проверки. Ниже приводится решение в ознакомительных целях.

Вариации лучевой скорости звезды, которая, судя по спектральному классу, близка по своим параметрам к Солнцу, вызваны её движением относительно центра масс системы звезда-планета. Обратим внимание, что средняя лучевая скорость звезды, которая является лучевой скоростью центра масс этой системы, известна нам с точностью, существенно превышающей точность одного измерения. Моменты времени, в которые измерения были произведены, также, очевидно, можно считать определенными точно.

Поймём, каким образом лучевая скорость звезды в данной системе должна зависеть от времени. Для этого сделаем небольшой рисунок с учётом нулевого наклона орбиты звезды к лучу зрения (т. к. прохождения центральные):

Схема орбиты звезды: окружность с центром масс в центре; вверх от центра стрелка $\vec{V}_{r_0}$, вниз — синяя стрелка «К наблюдателю». Радиус к точке на орбите образует угол $\omega t$ с направлением вниз; в этой точке красный вектор скорости $\vec{V}$, его синяя вертикальная составляющая $\vec{V}_r$ и зелёная горизонтальная составляющая, угол $\omega t$.

Здесь $t$ — время, прошедшее с момента центрального прохождения, $\omega \equiv \frac{2\pi}{T}$ . Из геометрии ясно, что $V_r(t) = V_{r_0} + V\sin\omega t$ .

Иными словами, изменение лучевой скорости звезды относительно лучевой скорости центра масс системы линейно зависит от $\sin\omega t$ , и, более того, зависимость прямо пропорциональная, а её коэффициент — скорость звезды $V$ . Теперь наша цель — связать скорость $V$ с массой планеты.

Для начала найдём скорость планеты. Целесообразно на этом этапе пренебречь массой планеты, поскольку, во-первых, точность определения относительной лучевой скорости невелика, а во-вторых, потому, что собственная неопределённость массы звезды, соответствующей данному спектральному классу, кратно превышает массу планеты. Запишем третий закон Кеплера:

\frac{T^2M_{\odot}}{a^3} = \frac{4\pi^2}{G} \Rightarrow a = \left(\frac{T^2GM_{\odot}}{4\pi^2}\right)^{\frac{1}{3}} \approx 1.930\ \text{а. е.}

Тогда скорость планеты $V_p$ :

V_p = \sqrt{\frac{GM_{\odot}}{a}} \approx 21.47\ \text{км/с}

Масса планеты $M_p$ может быть найдена из условия равенства импульсов планеты и звезды в системе отсчёта центра масс:

M_pV_p = M_{\odot}V \Rightarrow M_p = M_{\odot} \cdot \frac{V}{V_p}

Теперь найдём скорость звезды. Для этого рассчитаем для каждого из 12 данных нам измерений величину $\sin\omega t$ и $u = V_r - V_{r_0}$ , а затем построим график $u(\sin\omega t)$ :

$u$ , м/с	$\sin\omega t$	$u$ , м/с	$\sin\omega t$	$u$ , м/с	$\sin\omega t$
6.58	0.3577	12.00	0.5726	12.27	0.6591
10.68	0.4092	5.65	0.3478	13.80	0.7000
11.17	0.5238	8.42	0.4729	13.87	0.7062
14.17	0.5672	15.46	0.6499	18.00	0.7590

При построении графика учтём, что с очень хорошей точностью прямая должна проходить через точку $(0, 0)$ . Для определения погрешности определения $V$ проведём две вспомогательные прямые, каждая из которых будет оставлять сверху и снизу соответственно треть, в нашем случае, 4 точки. Конечно, могут быть выбраны любые другие разумные критерии.

График зависимости u, м/с (0–20) от sin(ωt) (0–1): 12 точек данных, сплошная прямая через начало координат и две пунктирные вспомогательные прямые через начало координат, ограничивающие разброс точек сверху и снизу.

Из графика определим скорость $V = 21.1 \pm 2.3$ м/с и наконец найдём массу планеты:

M_p = M_{\odot} \cdot \frac{V}{V_p} = (1.03 \pm 0.11)M_{\text{♃}}

Максимальная оценка за задачу 0 баллов.

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца — $L_{\odot} = 3.827 \cdot 10^{26}$ Вт
Видимая звёздная величина Солнца — $m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца — $M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца — $T_{\odot} = 5800\,\mathrm{K}$
Солнечная постоянная — $E_{\odot} = 1360.8$ Вт м $^{-2}$
Поток солнечной энергии в видимых лучах на расстоянии Земли — $= 600$ Вт м $^{-2}$
Тропический год — $= 365.24219$ сут
Звёздные сутки — $= 23$ ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике — $\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц — $S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны — $m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике — $= 10 \cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики — $= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца) — $= 2 \cdot 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная — $G = 6.674 \cdot 10^{-11}$ м $^3$ кг $^{-1}$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме — $c = 2.998 \cdot 10^{8}$ м с $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана — $\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}$ кг с $^{-3}$ К $^{-4}$
Постоянная Планка — $\mathrm{h} = 6.626 \cdot 10^{-34}$ Дж с
Масса протона — $m_{\mathrm{p}} = 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг
Астрономическая единица — 1 а. е. $= 1.496 \cdot 10^{11}$ м
Парсек — 1 пк $= 3.086 \cdot 10^{16}$ м
Время накопления сигнала глазом — $= 0.05$ с

Формулы приближённого вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \mathrm{tg}\, x \approx x

\ln(1+x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989\times10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302\times10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869\times10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974\times10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348\times10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419\times10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899\times10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685\times10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683\times10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024\times10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2024_teor_10_exam.pdf · официални решения: mos_astro_2024_teor_10_ans.pdf