Съдържание

МАО 2024, Теория, 11. клас — Задача 5

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2024

LXXVIII Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2024 г. 11 класс · 8 т.

Условие

Азимут звёзд вблизи зенита меняется очень быстро. Для слежения за ними телескопу на азимутальной монтировке необходимо успевать поворачиваться с нужной скоростью. Найдите максимальную высоту звезды, за которой может следить телескоп, если его максимальная скорость точного ведения составляет $0.18^{\circ}$ в секунду. Также оцените максимальную скорость вращения деротатора поля (устройство, предотвращающее вращение изображения на приёмнике) для слежения за окрестностями этой звезды. Телескоп находится на $41^{\circ}$ с. ш.

Отговори

Решение

Решение. Для решения задачи нарисуем суточную параллель звезды вблизи зенита (жирная стрелка). Окружностью обозначен альмукантарат с зенитным расстоянием $z$ , а $\Delta A$ — изменение азимута за единицу времени $\Delta t$ . За это же время звезда проходит расстояние $\omega\Delta t$ вдоль жирной стрелки, где $\omega$ — её угловая скорость.

Найдем угловую скорость звезды. Склонение звезд, проходящих через зенит, равно широте места наблюдения. Наша звезда проходит вблизи зенита, поэтому будем считать, что её склонение $\delta = 41^{\circ}$ . Тогда угловая скорость движения звезды по небу

\omega = 15^{\circ}/\text{ч}\cos\delta = 11.3^{\circ}/\text{ч} = 3.14^{\circ} \cdot 10^{-3}/\text{с}.

После этого мы можем найти зенитное расстояние $z$ , соответствующее нашей скорости изменения азимута:

\Delta A \cdot z = \omega \cdot \Delta t,

z = \frac{\omega}{\Delta A/\Delta t} = 1.0^{\circ}.

Заметим, что скорость изменения азимута тут должна быть выражена в радианах в секунду, а зенитное расстояние и угловая скорость — в одинаковых единицах, например, в градусах. Таким образом, этот телескоп не может наблюдать объекты выше $89^{\circ}$ над горизонтом.

Схема вблизи зенита: окружность альмукантарата с центром Z и радиусом z; стрелки к сторонам горизонта N,P (вверх), S (вниз), E (влево), W (вправо). Жирная горизонтальная стрелка Star касается окружности снизу; на ней точки M₁ и M₂, отрезок между ними подписан ωΔt. Из Z к M₁ и M₂ проведены отрезки с углом ΔA между ними; из M₁ и M₂ вверх идут пунктирные стрелки N,P к точкам N₁ и N₂, углы между ними и отрезками подписаны Δμ₁ и Δμ₂.

Для определения скорости вращения деротатора заметим, что по сравнению с одним градусом зенитного расстояния полюс Мира находится сильно дальше, в $49^{\circ}$ , а значит, направления на полюс Мира из любой точки на рисунке будут примерно параллельны. Направления на полюс Мира из двух точек траектории звезды (между которыми она провернулась на азимут $\Delta A$ обозначены пунктирными стрелочками $\mathrm{M_1N_1}$ и $\mathrm{M_2N_2}$ . Изменение угла поворота деротатора поля равно изменению угла между зенитом и полюсом Мира в процессе движения звезды и равно

\Delta\mu = \Delta\mu_1 + \Delta\mu_2 = \Delta A

Таким образом максимальная скорость вращения деротатора равна скорости вращения телескопа по азимуту, то есть 0.18 градуса в секунду.

Критерии проверки

Угловая скорость звезды 2 балла
Максимальная высота звезды 2 балла
Вывод, что должна сохраняться ориентация кадра относительно полюса мира 1 балл
Скорость вращения деротатора 3 балла

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(С. Г. Желтоухов)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца	$L_{\odot} = 3.827 \cdot 10^{26}\ \text{Вт}$
Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца	$M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot} = 5800\ \mathrm{K}$
Солнечная постоянная	$E_{\odot} = 1360.8\ \text{Вт}\,\text{м}^{-2}$
Поток солнечной энергии в видимых лучах на расстоянии Земли	$= 600\ \text{Вт}\,\text{м}^{-2}$
Тропический год	$= 365.24219$ сут
Звёздные сутки	$= 23$ ч $56$ мин $04$ с
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц	$S_{☾} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны	$m_{☾} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике	$= 10 \cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики	$= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)	$= 2 \cdot 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная	$G = 6.674 \cdot 10^{-11}\ \text{м}^3\,\text{кг}^{-1}\,\text{с}^{-2}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998 \cdot 10^{8}\ \text{м}\,\text{с}^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}\ \text{кг}\,\text{с}^{-3}\,\mathrm{K}^{-4}$
Постоянная Планка	$\mathrm{h} = 6.626 \cdot 10^{-34}\ \text{Дж}\,\text{с}$
Масса протона	$m_{\mathrm{p}} = 1.67 \cdot 10^{-27}\ \text{кг}$
Астрономическая единица	$1\ \text{а. е.} = 1.496 \cdot 10^{11}\ \text{м}$
Парсек	$1\ \text{пк} = 3.086 \cdot 10^{16}\ \text{м}$
Время накопления сигнала глазом	$= 0.05\ \text{с}$

Формулы приближённого вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \operatorname{tg} x \approx x

\ln(1 + x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1 + x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989 \times 10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302 \times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869 \times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974 \times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348 \times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419 \times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899 \times 10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685 \times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683 \times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024 \times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2024_teor_11_exam.pdf · официални решения: mos_astro_2024_teor_11_ans.pdf