Съдържание

МАО 2024, Теория, 11. клас — Задача 6

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2024

LXXVIII Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2024 г. 11 класс · 8 т.

Условие

Два одинаковых радиотелескопа регистрируют излучение от радиопульсара. Первый телескоп оснащён приёмником с полосой пропускания 32 МГц, регистрирующим сигнал на центральной частоте 300 МГц. Центральная частота приёмника второго телескопа 2200 МГц. Какой должна быть полоса пропускания приёмника второго телескопа, чтобы он принимал такое же количество энергии от пульсара, как и первый телескоп, если спектр пульсара имеет зависимость от частоты $f$ как $f^{-2}$ ?

Отговори

Решение

Решение. Если бы спектр пульсара был плоским, то есть не зависел от частоты, то решение было бы тривиальным — полосы приёмников должны были быть одинаковыми. Однако, на более высоких частотах пульсар излучает меньшую энергию, вследствие чего на большей частоте потребуется приёмник с заметно большей полосой пропускания.

Для начала будем считать, что спектр пульсара плоский внутри полосы пропускания. Тогда во второй телескоп попадает в $(2200/300)^2 \approx 53.8$ меньше энергии, что требует полосу приёма 1721 МГц, то есть принимать сигнал необходимо на частотах от 479 до 3921 МГц. Очевидно, что в таком гигантском диапазоне спектр пульсара считать плоским нельзя.

Пусть $S$ — поток радиоизлучения в единичном частотном интервале. Тогда в полосу приёмника попадает поток

F = \int\limits_{f_1}^{f_2} S df = \int\limits_{f_1}^{f_2} a f^{-2} df = a\left(f_1^{-1} - f_2^{-1}\right) = a\left[\left(f_0 - \frac{\Delta f}{2}\right)^{-1} - \left(f_0 + \frac{\Delta f}{2}\right)^{-1}\right].

Здесь $a$ — некоторая константа, $f_1$ и $f_2$ — границы полосы пропускания приёмника, $f_0$ — центральная частота, $\Delta f$ — ширина полосы пропускания. Тогда, обозначая надстрочными индексами $^{(1)}$ и $^{(2)}$ телескопы, получим

\left(f_0^{(1)} - \frac{\Delta f^{(1)}}{2}\right)^{-1} - \left(f_0^{(1)} + \frac{\Delta f^{(1)}}{2}\right)^{-1} = \left(f_0^{(2)} - \frac{\Delta f^{(2)}}{2}\right)^{-1} - \left(f_0^{(2)} + \frac{\Delta f^{(2)}}{2}\right)^{-1}

Нам известны $f_0$ и $\Delta f$ для одного телескопа, для определённости первого, и $f_0$ для другого. Обозначим величину $\left(f_0^{(1)} - \Delta f^{(1)}/2\right)^{-1} - \left(f_0^{(1)} + \Delta f^{(1)}/2\right)^{-1} = K \approx 0.000\,357\ \text{МГц}^{-1}$ . Тогда

K = \left(f_0^{(2)} - \frac{\Delta f^{(2)}}{2}\right)^{-1} - \left(f_0^{(2)} + \frac{\Delta f^{(2)}}{2}\right)^{-1} = \frac{\Delta f^{(2)}}{{f_0^{(2)}}^2 - \left(\frac{\Delta f^{(2)}}{2}\right)^2}.

Это уравнение квадратное относительно $\Delta f^{(2)}$ . Его корни равны

\Delta f^{(2)} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{1 + K^2 {f_0^{(2)}}^2}}{K}.

Из двух корней физический смысл имеет только $\Delta f^{(2)} \approx 1520$ МГц.

Стоит отметить, что приёмников с такой полосой пропускания для выбранной нами частоты не существует.

Критерии проверки

Формула для потока энергии в широкой полосе приёма 3 балла
Урвнение для ширины полосы приёма 2 балла
Решение уравнения 2 балла
Ответ 1 балл

Упрощённый вариант без зависимости изменения потока внутри полосы приёма оценивается не более чем в 2 балла.

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(Е. Н. Фадеев)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца	$L_{\odot} = 3.827 \cdot 10^{26}\ \text{Вт}$
Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца	$M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot} = 5800\ \mathrm{K}$
Солнечная постоянная	$E_{\odot} = 1360.8\ \text{Вт}\,\text{м}^{-2}$
Поток солнечной энергии в видимых лучах на расстоянии Земли	$= 600\ \text{Вт}\,\text{м}^{-2}$
Тропический год	$= 365.24219$ сут
Звёздные сутки	$= 23$ ч $56$ мин $04$ с
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц	$S_{☾} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны	$m_{☾} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике	$= 10 \cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики	$= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)	$= 2 \cdot 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная	$G = 6.674 \cdot 10^{-11}\ \text{м}^3\,\text{кг}^{-1}\,\text{с}^{-2}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998 \cdot 10^{8}\ \text{м}\,\text{с}^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}\ \text{кг}\,\text{с}^{-3}\,\mathrm{K}^{-4}$
Постоянная Планка	$\mathrm{h} = 6.626 \cdot 10^{-34}\ \text{Дж}\,\text{с}$
Масса протона	$m_{\mathrm{p}} = 1.67 \cdot 10^{-27}\ \text{кг}$
Астрономическая единица	$1\ \text{а. е.} = 1.496 \cdot 10^{11}\ \text{м}$
Парсек	$1\ \text{пк} = 3.086 \cdot 10^{16}\ \text{м}$
Время накопления сигнала глазом	$= 0.05\ \text{с}$

Формулы приближённого вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \operatorname{tg} x \approx x

\ln(1 + x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1 + x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989 \times 10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302 \times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869 \times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974 \times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348 \times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419 \times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899 \times 10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685 \times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683 \times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024 \times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2024_teor_11_exam.pdf · официални решения: mos_astro_2024_teor_11_ans.pdf