Съдържание

МАО 2024, Теория, 8. клас — Задача 4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2024

LXXVIII Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2024 г. 8 класс · 8 т.

Условие

Известно, что высота орбиты некоторого спутника в 8 раза меньше высоты геостационарной орбиты. Сколько раз можно наблюдать восход этого спутника над горизонтом за 60 дней на экваторе? Считать, что спутник видно как ночью, так и днём.

Отговори

Решение

Решение. Сначала определим радиус орбиты спутника $R$ . Геостационарной называется орбита, двигаясь по которой тело совершает оборот за звёздные сутки. Чтобы найти её радиус, воспользуемся 3 законом Кеплера, сравнив спутник с Луной:

R = R_{\text{Л}} \left(\frac{T}{T_{\text{Л}}}\right)^{2/3} = 384400 \left(\frac{0.997}{27.3}\right)^{2/3} \approx 42\,300\ \mathrm{км}.

Здесь мы учли, что звёздные сутки $T$ немного короче солнечных.

В условии сравниваются не радиусы орбит спутников, а их высоты, то есть расстояния от земной поверхности. Высота геостационарной орбиты составляет $42300 - 6400 = 35\,900\ \mathrm{км}$ . Тогда высота орбиты спутника $35900/8 \approx 4488\ \mathrm{км}$ , а её радиус — $R_1 = 4488 + 6400 = 10\,888\ \mathrm{км}$ .

Снова воспользуемся третьим законом Кеплера для вычисления периода обращения спутника:

T_1 = T \left(\frac{R_1}{R}\right)^{3/2} = 23.93 \left(\frac{10888}{42300}\right)^{3/2} \approx 3.12\ \mathrm{ч}.

Для наблюдателя на экваторе этот спутник будет находиться на небесном меридиане. Он будет восходить в точке восхода с периодом, равным его синодическому периоду. Определим этот период из уравнения синодического движения:

\frac{1}{S} = \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T}

S = \frac{T T_1}{T - T_1} = \frac{23.93 \cdot 3.12}{23.93 - 3.12} \approx 3.6\ \mathrm{ч}.

Наблюдательный период составляет 60 дней или $60 \cdot 24 = 1440\ \mathrm{ч}$ . За это время пройдёт $1440/3.6 = 400.7$ синодических периодов спутника. Значит, можно было наблюдать 400 или 401 восход.

Заметим, что если посчитать радиус орбиты спутника в 8 раз меньше радиуса геостационарной орбиты, то в ответе получим 1301 восход. Однако этот ответ не имеет смысла, поскольку в этом случае радиус орбиты спутника меньше радиуса Земли.

Критерии проверки

Радиус геостационарной орбиты. Участник может знать эту величину на память 1 балл

Использование солнечных суток вместо звёздных не является причиной для снижения оценки.
Высота геостационарной орбиты 1 балл
Высота орбиты спутника 1 балл
Период обращения спутника 1 балл

Если радиус орбиты спутника $R/8 \approx 5300\ \mathrm{км}$ , то за правильно полученный ответ ( $\approx 1$ ч) оценка выставляется.
Синодический период спутника 2 балла

Если радиус орбиты спутника $R/8 \approx 5300\ \mathrm{км}$ , то в случе правильного вычисления выставляется только 1 балл.
Число восходов 2 балла

Оценивается только при правильном выполнении всех предыдущих этапов решения.

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(М. В. Силантьев)

К задаче 6

Сдайте этот лист вместе с работой!

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике
Светимость Солнца	$L_{\odot} = 3.827 \cdot 10^{26}\ \mathrm{Вт}$
Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца	$M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot} = 5800\ \mathrm{K}$
Солнечная постоянная	$E_{\odot} = 1360.8\ \mathrm{Вт\,м^{-2}}$
Тропический год	$= 365.24219\ \text{сут}$
Звёздные сутки	$T_{☾} = 23\ \text{ч}\ 56\ \text{мин}\ 04\ \text{с}$
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Средняя плотность Земли	$\rho_{\oplus} = 5515\ \mathrm{кг/м^3}$
Синодический месяц	$S_{☾} = 29.530\,59\ \text{сут}$
Видимая звёздная величина полной Луны	$m_{☾} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике	$= 10 \cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики	$= 20\ \text{кпк}$
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)	$= 2 \cdot 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные
Гравитационная постоянная	$G = 6.674 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{м^3\,кг^{-1}\,с^{-2}}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998 \cdot 10^{8}\ \mathrm{м\,с^{-1}}$
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}\ \mathrm{кг\,с^{-3}\,K^{-4}}$
Масса протона	$m_{\mathrm{p}} = 1.67 \cdot 10^{-27}\ \mathrm{кг}$
Астрономическая единица	$1\ \text{а. е.} = 1.496 \cdot 10^{11}\ \mathrm{м}$
Парсек	$1\ \text{пк} = 3.086 \cdot 10^{16}\ \mathrm{м}$

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989\times10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302\times10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869\times10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974\times10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348\times10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419\times10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899\times10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685\times10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683\times10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024\times10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2024_teor_8_exam.pdf · официални решения: mos_astro_2024_teor_8_ans.pdf