Съдържание

МАО 2024, Теория, 8. клас — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2024

LXXVIII Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2024 г. 8 класс · 8 т.

Условие

Последняя максимальная утренняя элонгация Меркурия в 2023 году произошла 22 сентября. В каких месяцах можно наблюдать Меркурий в максимальной элонгации утром в 2024, году и какая из этих элонгаций наиболее благоприятна для наблюдений? Орбиту Меркурия считать круговой.

Отговори

Решение

Решение. Интервал времени между двумя последовательными одноимёнными конфигурациями планеты называется синодическим периодом. Вычислим его, воспользовавшись уравнением синодического движения:

\frac{1}{S} = \frac{1}{T} - \frac{1}{T_0},

S = \frac{T T_0}{T_0 - T} = \frac{88 \cdot 365.26}{365.26 - 88} \approx 116\ \text{суток}.

Здесь $T_0$ и $T$ — сидерические периоды обращения Земли и Меркурия. Надо понимать, что из-за вытянутости орбиты Меркурия мы можем говорить только о среднем значении синодического периода. Поэтому даты всех следующих элонгаций мы получим приблизительно.

Определим даты элонгаций в 2024 году. 22 сентября — это $31+28+31+30+31+30+31+31+22 = 265$ день года. Добавим ещё 116 суток и получим 381. Это уже следующий год, поэтому вычтем 365. Получаем 16 января. Добавляя несколько раз по 116 суток, получим 132-й, 248-й и 364-й дни 2024 года. Это 11 мая, 4 сентября и 29 декабря.

Наиболее благоприятной будет та элонгация, в которой Меркурий будет наблюдаться максимально высоко на сумеречном небе. Для этого требуется, чтобы угол между эклиптикой и горизонтом был максимальным.

Схема у точки восхода: горизонтальная линия «Горизонт»; через точку на ней проходят сплошная наклонная линия «Небесный экватор», штриховая крутая линия «Эклиптика осенью» и штрихпунктирная пологая линия «Эклиптика весной»; все линии продолжены под горизонт.

Рассмотрим положение эклиптики в моменты восхода точек равноденствия. В точке весеннего равноденствия Солнце переходит из южной небесной полусферы в северную. Поэтому в момент восхода точки весеннего равноденствия видимая часть эклиптики будет заключена между экватором и горизонтом. Следовательно, в элонгации в конце марта Меркурий наблюдать затруднительно. В дальнейшем Солнце начинает восходить ближе к северу, откуда следует, что угол между горизонтом и эклиптикой уменьшится ещё сильнее. Майская элонгация для наблюдений будет очень неудачной.

Напротив, на восходе точки осеннего равноденствия эклиптика будет видна высоко, а значит элонгация 4 сентября будет наиболее благоприятной для наблюдений.

Критерии проверки

Вычисление синодического периода Меркурия 2 балла
Определение месяцев, в которые будут наблюдаться утренние элонгации по 1 баллу
Объяснение, почему осень предпочтительнее весны 1 балл
Окончательный вывод 1 балл

Если вместо синодического используется сидерический период, то оценки за пп. 1, 2, 4 не выставляются.

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(Е. Н. Фадеев)

К задаче 6

Сдайте этот лист вместе с работой!

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике
Светимость Солнца	$L_{\odot} = 3.827 \cdot 10^{26}\ \mathrm{Вт}$
Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца	$M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot} = 5800\ \mathrm{K}$
Солнечная постоянная	$E_{\odot} = 1360.8\ \mathrm{Вт\,м^{-2}}$
Тропический год	$= 365.24219\ \text{сут}$
Звёздные сутки	$T_{☾} = 23\ \text{ч}\ 56\ \text{мин}\ 04\ \text{с}$
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Средняя плотность Земли	$\rho_{\oplus} = 5515\ \mathrm{кг/м^3}$
Синодический месяц	$S_{☾} = 29.530\,59\ \text{сут}$
Видимая звёздная величина полной Луны	$m_{☾} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике	$= 10 \cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики	$= 20\ \text{кпк}$
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)	$= 2 \cdot 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные
Гравитационная постоянная	$G = 6.674 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{м^3\,кг^{-1}\,с^{-2}}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998 \cdot 10^{8}\ \mathrm{м\,с^{-1}}$
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}\ \mathrm{кг\,с^{-3}\,K^{-4}}$
Масса протона	$m_{\mathrm{p}} = 1.67 \cdot 10^{-27}\ \mathrm{кг}$
Астрономическая единица	$1\ \text{а. е.} = 1.496 \cdot 10^{11}\ \mathrm{м}$
Парсек	$1\ \text{пк} = 3.086 \cdot 10^{16}\ \mathrm{м}$

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989\times10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302\times10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869\times10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974\times10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348\times10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419\times10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899\times10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685\times10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683\times10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024\times10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2024_teor_8_exam.pdf · официални решения: mos_astro_2024_teor_8_ans.pdf