Съдържание

МАО 2024, Теория, 9. клас — Задача 6

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2024

LXXVIII Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2024 г. 9 класс · 12 т.

Условие

Вам дана таблица, в которой указаны расстояния $D$ от Земли до кометы 81P/Wild в 2022 и 2023 годах, а также разность эклиптических долгот $\Delta\lambda$ кометы и Солнца (положительные значения соответствуют положению кометы к востоку от Солнца). Комета движется в плоскости эклиптики.

Рамка для построения: в центре крупная точка — Солнце, вокруг неё окружность — орбита Земли; малая точка на правом краю окружности — Земля на 1 января 2022 года. Остальное поле рамки пустое. — К задаче 6

1. Вам дан рисунок, на котором изображено Солнце, орбита Земли и Земля на 1 января 2022 года. Вид из северного полюса эклиптики. Нанесите на него положения кометы в каждый из указанных в таблице моментов времени. Примерно обозначьте орбиту кометы.

2. Определите расстояние перигелия кометы.

3. В каком созвездии наблюдалась комета, когда она проходила перигелий?

4. Комета совершает один оборот вокруг Солнца за 6.4 года. На какое максимальное расстояние от Солнца она может удаляться?

5. Оцените скорость кометы в перигелии. Во сколько раз она больше круговой скорости на том же расстоянии от Солнца?

Дата	$D$ , а. е.	$\Delta\lambda$ , $^{\circ}$	Дата	$D$ , а. е.	$\Delta\lambda$
01.01.2022	2.59	$125.8^{\circ}$	01.01.2023	1.85	$-59.8^{\circ}$
01.03.2022	3.11	$71.1^{\circ}$	01.03.2023	1.55	$-84.6^{\circ}$
01.05.2022	3.41	$30.5^{\circ}$	01.05.2023	1.25	$-131.0^{\circ}$
01.07.2022	3.24	$0.6^{\circ}$	01.07.2023	1.44	$158.5^{\circ}$
01.09.2022	2.76	$-24.4^{\circ}$	01.09.2023	2.39	$101.6^{\circ}$
01.11.2022	2.24	$-42.5^{\circ}$	01.11.2023	3.53	$57.8^{\circ}$

Отговори

Решение

Рамка для построения из решений: в центре крупная точка — Солнце, окружность — орбита Земли, малая точка на верхнем краю окружности — Земля.

Решение. Выполним построения для ответа на первый вопрос. Для этого сначала отметим положение Земли в каждый момент времени. Конечно, спустя год Земля не оказывается в том же самом положении, но этим сдвигом на таком грубом чертеже можно пренебречь и считать, что у нас только шесть возможных положений Земли.

На следующем шаге откладываем от нужного положения Земли отрезок соответствующей длины в направлении, которое задаётся углом $\Delta\lambda$ . Мы получаем набор точек, по которому можно проследить часть орбиты в районе перигелия.

По рисунку видно, что перигелий комета прошла в конце 2022 года примерно посередине между положениями 01.11.2022 и 01.01.2023, то есть в начале декабря. В это время Солнце наблюдается в созвездии Змееносца или Скорпиона. Угол между кометой и Солнцем 1 декабря — около $50^{\circ}$ или $3.3^\mathrm{h}$ , а значит, комета находится в том созвездии, где Солнце было за полтора месяца до того момента, то есть в середине октября. Это созвездие Девы.

Выполненное построение: Солнце в центре, орбита Земли с шестью отмеченными положениями Земли и красной точкой с подписью «1 декабря». Пунктирной линией соединены точки положений кометы; кружком отмечен «перигелий». Штриховыми линиями показаны отрезок 3.11 а. е. под углом 71.1° и отрезок 1.44 а. е. под углом 158.5°, отложенные от положений Земли.

По рисунку определяем, что расстояние перигелия у кометы равно $p = 1.6\ \text{а. е.}$

Из третьего закона Кеплера получаем величину большой полуоси кометы:

a = 1\ \text{а. е.}\sqrt[3]{6.4^2} \approx 3.45\ \text{а. е.}

Тогда в афелии комета удаляется до расстояния

q = 2a - p = 5.3\ \text{а. е.}

Расстояние между известными положениями кометы до и после перигелия равно 1 а. е. Это расстояние комета преодолела за 61 день. Тогда её скорость равна

v_p = \frac{150\,000\,000\ \text{км}}{61\ \text{день}} \approx 28\ \text{км/с}.

Круговая скорость на расстоянии $p$ равна

v_0 = \sqrt{\frac{GM_0}{p}} \approx 23.6\ \text{км/с}.

Значит, скорость кометы больше в 1.2 раза.

Критерии проверки

Правильное выполнение рисунка в верном масштабе 6 баллов

Рисунок, зеркальный по сравнению с правильным, оценивается в 4 балла.
Созвездие, в котором наблюдалась комета 1 балл
Расстояние перигелия 1 балл
Определение большой полуоси кометы 1 балл
Определение расстояния афелия 1 балл
Скорость в перигелии 1 балл
Круговая скорость на расстоянии перигелия и окончательный ответ 1 балл

Максимальная оценка за задачу 12 баллов.

(Е. Н. Фадеев)

Бланк к задаче 6

Сдайте этот лист вместе с работой!

К задаче 6

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца	$L_{\odot} = 3.827\cdot 10^{26}\ \text{Вт}$
Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.78^\mathrm{m}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца	$M_{\odot} = 4.72^\mathrm{m}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot} = 5800\ \mathrm{K}$
Солнечная постоянная	$E_{\odot} = 1360.8\ \text{Вт}\,\text{м}^{-2}$
Поток солнечной энергии в видимых лучах на расстоянии Земли	$= 600\ \text{Вт}\,\text{м}^{-2}$
Тропический год	$= 365.24219\ \text{сут}$
Звёздные сутки	$= 23\ \text{ч}\ 56\ \text{мин}\ 04\ \text{с}$
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц	$S_{\text{☾}} = 29.530\,59\ \text{сут}$
Видимая звёздная величина полной Луны	$m_{\text{☾}} = -12.7^\mathrm{m}$
Число звёзд в нашей Галактике	$= 10\cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики	$= 20\ \text{кпк}$
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)	$= 2\cdot 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная	$G = 6.674\cdot 10^{-11}\ \text{м}^3\,\text{кг}^{-1}\,\text{с}^{-2}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998\cdot 10^{8}\ \text{м}\,\text{с}^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5.67\cdot 10^{-8}\ \text{кг}\,\text{с}^{-3}\,\mathrm{K}^{-4}$
Постоянная Планка	$\mathrm{h} = 6.626\cdot 10^{-34}\ \text{Дж}\,\text{с}$
Масса протона	$m_\mathrm{p} = 1.67\cdot 10^{-27}\ \text{кг}$
Астрономическая единица	$1\ \text{а. е.} = 1.496\cdot 10^{11}\ \text{м}$
Парсек	$1\ \text{пк} = 3.086\cdot 10^{16}\ \text{м}$
Время накопления сигнала глазом	$= 0.05\ \text{с}$

Формулы приближённого вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \operatorname{tg} x \approx x

\ln(1+x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989\times 10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302\times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869\times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974\times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348\times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419\times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899\times 10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685\times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683\times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024\times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2024_teor_9_exam.pdf · официални решения: mos_astro_2024_teor_9_ans.pdf