Съдържание

МАО 2024, Теория, 9. клас — Задача 5

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2024

LXXVIII Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2024 г. 9 класс · 8 т.

Условие

Путешественники, оказавшиеся на необитаемом острове, наблюдали за одной из звёзд. Они не смогли определить, входит ли эта звезда в созвездие Южный Крест или астеризм Ложный Крест. Выяснилось, что высота верхней кульминации этой звезды составляет $h_\text{в} = 67.5^{\circ}$ , а высота нижней кульминации — $h_\text{н} = 7.5^{\circ}$ . Нижняя кульминация этой звезды 5 октября произошла в полночь. У путешественников были обычные часы, показывающие московское время. Оказалось, что в момент местной полуночи стрелки на циферблате часов показывают 3 часа 51 минуту. Определите координаты острова и звезду, за которой следили путешественники.

Звезда	Прямое восхождение	Склонение	Звезда	Прямое восхождение	Склонение
Акрукс ( $\alpha$ Cru)	$12.5^\mathrm{h}$	$-63^{\circ}$	Авиор ( $\varepsilon$ Car)	$8.4^\mathrm{h}$	$-60^{\circ}$
Мимоза ( $\beta$ Cru)	$12.8^\mathrm{h}$	$-60^{\circ}$	Аспидиске ( $\iota$ Car)	$9.3^\mathrm{h}$	$-59^{\circ}$
Гакрукс ( $\gamma$ Cru)	$12.5^\mathrm{h}$	$-57^{\circ}$	Маркеб ( $\kappa$ Vel)	$9.4^\mathrm{h}$	$-55^{\circ}$
Имаи ( $\delta$ Cru)	$12.3^\mathrm{h}$	$-59^{\circ}$	Альсефина ( $\delta$ Vel)	$8.7^\mathrm{h}$	$-55^{\circ}$

Отговори

Решение

Решение. Нам неизвестно, с какой стороны от зенита кульминировала звезда. Можно проверить оба варианта, но можно быстро отсечь лишний. Все возможные звёзды имеют склонения $\delta$ от $-55^{\circ}$ до $-63^{\circ}$ . Высоту звезды в нижней кульминации $h_\text{н}$ можно найти по формуле

h_\text{н} = |\delta| + |\varphi| - 90^{\circ} = -\delta - \varphi - 90^{\circ}.

Здесь мы учли, что склонение и широта $\varphi$ отрицательные: склонение напрямую по условию, а широта — как следствие того, что высота нижней кульминации положительная. Тогда можем сделать вывод, что наблюдения проводятся на широтах от $-34.5^{\circ}$ до $-42.5^{\circ}$ . Поскольку при $|\delta| > |\varphi|$ кульминация происходит между зенитом и полюсом, делаем вывод, что звезда кульминировала к югу от зенита. Формула для высоты в верхней кульминации имеет вид

h_\text{в} = 90^{\circ} + |\delta - \varphi| = 90^{\circ} + \delta - \varphi.

Сложим первое и второе уравнения и получаем

h_\text{в} + h_\text{н} = -2\varphi.

Отсюда $\varphi = -37.5^{\circ}$ или $37.5^{\circ}$ ю. ш. Вычтем первое уравнение из второго и получим

h_\text{в} - h_\text{н} = 180^{\circ} - 2\delta, \quad \delta = 90^{\circ} - \frac{h_\text{в} - h_\text{н}}{2} = 60^{\circ}.

Такое склонение имеют две звезды: Мимоза и Авиор. Для того чтобы сделать окончательный выбор, обратим внимание на время кульминации. Звёздное и солнечное время совпадают в день осеннего равноденствия, который выпадает на 22 или 23 сентября. Иными словами, в этот день нижняя кульминация Солнца совпадает с верхней кульминацией точки весеннего равноденствия. В нижней кульминации оказывается точка осеннего равноденствия. Поскольку звёздные сутки на 3 минуты 54 секунды короче солнечных, то каждый следующий день в полночь в нижней кульминации оказываются звёзды с большими прямыми восхождениями. Спустя 12 или 13 дней, т.е 5 октября, в полночь в нижней кульминации окажутся звёзды с прямым восхождениями около $12.8^\mathrm{h}$ . Значит, искомая звезда — Мимоза.

Осталось определить долготу острова. Заметим, что поскольку циферблат стрелочный, мы можем определить московское время с точностью до 12 часов: 3 часа 51 минута или 15 часов 51 минута. Московское время отличается от всемирного на 3 часа. Поэтому всемирное время равно или 0 часов 51 минуте, или 12 часам 51 минуте. Следовательно, долгота острова или $51^\mathrm{m}$ з. д. ( $12.75^{\circ}$ з. д.), или $11^\mathrm{h}09^\mathrm{m}$ в. д. ( $167.25^{\circ}$ в. д.).

Критерии проверки

Определение звезды 3 балла

Если участник определил только склонение звезды и не смог сделать однозначный выбор, то выставляется 1 балл.
Определение широты острова 2 балла
Правильная разность московского и всемирного времени 1 балл
Определение долготы острова по 1 баллу

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(В. Б. Игнатьев)

Бланк к задаче 6

Сдайте этот лист вместе с работой!

К задаче 6

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца	$L_{\odot} = 3.827\cdot 10^{26}\ \text{Вт}$
Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.78^\mathrm{m}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца	$M_{\odot} = 4.72^\mathrm{m}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot} = 5800\ \mathrm{K}$
Солнечная постоянная	$E_{\odot} = 1360.8\ \text{Вт}\,\text{м}^{-2}$
Поток солнечной энергии в видимых лучах на расстоянии Земли	$= 600\ \text{Вт}\,\text{м}^{-2}$
Тропический год	$= 365.24219\ \text{сут}$
Звёздные сутки	$= 23\ \text{ч}\ 56\ \text{мин}\ 04\ \text{с}$
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц	$S_{\text{☾}} = 29.530\,59\ \text{сут}$
Видимая звёздная величина полной Луны	$m_{\text{☾}} = -12.7^\mathrm{m}$
Число звёзд в нашей Галактике	$= 10\cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики	$= 20\ \text{кпк}$
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)	$= 2\cdot 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная	$G = 6.674\cdot 10^{-11}\ \text{м}^3\,\text{кг}^{-1}\,\text{с}^{-2}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998\cdot 10^{8}\ \text{м}\,\text{с}^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5.67\cdot 10^{-8}\ \text{кг}\,\text{с}^{-3}\,\mathrm{K}^{-4}$
Постоянная Планка	$\mathrm{h} = 6.626\cdot 10^{-34}\ \text{Дж}\,\text{с}$
Масса протона	$m_\mathrm{p} = 1.67\cdot 10^{-27}\ \text{кг}$
Астрономическая единица	$1\ \text{а. е.} = 1.496\cdot 10^{11}\ \text{м}$
Парсек	$1\ \text{пк} = 3.086\cdot 10^{16}\ \text{м}$
Время накопления сигнала глазом	$= 0.05\ \text{с}$

Формулы приближённого вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \operatorname{tg} x \approx x

\ln(1+x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989\times 10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302\times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869\times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974\times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348\times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419\times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899\times 10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685\times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683\times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024\times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2024_teor_9_exam.pdf · официални решения: mos_astro_2024_teor_9_ans.pdf