Съдържание

МАО 2024, Теория, 9. клас — Задача 4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2024

LXXVIII Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2024 г. 9 класс · 8 т.

Условие

Один инопланетянин, оказавшийся случайно на сборах команды России по астрономии, пытается показать школьникам свою родную звезду. Он навёл в нужную сторону телескоп (диаметр объектива $D = 150\ \text{мм}$ , фокусное расстояние $F = 450\ \text{мм}$ , фокусное расстояние окуляра $f = 30\ \text{мм}$ ) и сказал, что звезда едва видна в центре поля зрения. Известно, что диаметр зрачков инопланетянина $\delta = 20\ \text{мм}$ , а невооружённым глазом он видит звёзды до $m_\mathrm{A} = 8^m$ . Смогут ли участники сборов разглядеть звезду в этот телескоп?

Отговори

Решение

Решение. Площадь объектива телескопа в $(D/\delta)^2$ раз больше площади глаза инопланетянина. Значит, без телескопа видимая звёздная величина родной звезды инопланетянина равна

m = m_\mathrm{A} + 2.5\lg\left(\frac{D}{\delta}\right)^2 = 8^m + 5\lg 7.5 \approx 12.4^m.

Здоровый человеческий глаз видит звёзды до 6 звёздной величины, при этом зрачок может расширяться до $\tilde\delta = 6\ \text{мм}$ . Тогда предельное увеличение телескопа при наблюдении людьми составляет

\tilde m = 6^m + 5\lg\frac{D}{\tilde\delta} \approx 2.1^m + 5\lg D \approx 13.0^m.

Казалось бы, участники сборов тоже смогут наблюдать звезду в телескоп. Однако такое утверждение преждевременно. Обратим внимание, что увеличение телескопа составляет $\Gamma = F/f = 15$ . Это увеличение больше равнозрачкового для инопланетянина ( $150/20 = 7.5$ ), но меньше равнозрачкового для людей ( $150/6 = 25$ ). Диаметр выходного зрачка $d = D/\Gamma \approx 10\ \text{мм}$ , а значит, в глаз попадает только $(6/10)^2 \approx 0.36$ света звезды. В лучшем случае участники сборов смогут увидеть в такой телескоп звёзды до

\tilde m = 6^m + 2.5\lg\left(\frac{D}{\tilde\delta}\frac{6}{10}\right)^2 \approx 11.8^m.

В итоге, участники не смогут разглядеть нужную звезду, если, конечно, не догадаются заменить окуляр на более короткофокусный.

Замечание. Использование формулы Боуэна для решения этой задачи ответ принципиально не изменяет.

Критерии проверки

Видимая звёздная величина звезды 2 балла
Увеличение меньше равнозрачкового для людей 3 балла
Предельная звёздная величина 2 балла

Если опущен факт того, что увеличение больше равнозрачкового, то оценка за этап — не более 1 балла.
Вывод 1 балла

Выставляется только в случае целиком правильного решения.

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(Е. Н. Фадеев)

Бланк к задаче 6

Сдайте этот лист вместе с работой!

К задаче 6

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца	$L_{\odot} = 3.827\cdot 10^{26}\ \text{Вт}$
Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.78^\mathrm{m}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца	$M_{\odot} = 4.72^\mathrm{m}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot} = 5800\ \mathrm{K}$
Солнечная постоянная	$E_{\odot} = 1360.8\ \text{Вт}\,\text{м}^{-2}$
Поток солнечной энергии в видимых лучах на расстоянии Земли	$= 600\ \text{Вт}\,\text{м}^{-2}$
Тропический год	$= 365.24219\ \text{сут}$
Звёздные сутки	$= 23\ \text{ч}\ 56\ \text{мин}\ 04\ \text{с}$
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц	$S_{\text{☾}} = 29.530\,59\ \text{сут}$
Видимая звёздная величина полной Луны	$m_{\text{☾}} = -12.7^\mathrm{m}$
Число звёзд в нашей Галактике	$= 10\cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики	$= 20\ \text{кпк}$
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)	$= 2\cdot 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная	$G = 6.674\cdot 10^{-11}\ \text{м}^3\,\text{кг}^{-1}\,\text{с}^{-2}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998\cdot 10^{8}\ \text{м}\,\text{с}^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5.67\cdot 10^{-8}\ \text{кг}\,\text{с}^{-3}\,\mathrm{K}^{-4}$
Постоянная Планка	$\mathrm{h} = 6.626\cdot 10^{-34}\ \text{Дж}\,\text{с}$
Масса протона	$m_\mathrm{p} = 1.67\cdot 10^{-27}\ \text{кг}$
Астрономическая единица	$1\ \text{а. е.} = 1.496\cdot 10^{11}\ \text{м}$
Парсек	$1\ \text{пк} = 3.086\cdot 10^{16}\ \text{м}$
Время накопления сигнала глазом	$= 0.05\ \text{с}$

Формулы приближённого вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \operatorname{tg} x \approx x

\ln(1+x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989\times 10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302\times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869\times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974\times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348\times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419\times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899\times 10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685\times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683\times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024\times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2024_teor_9_exam.pdf · официални решения: mos_astro_2024_teor_9_ans.pdf