Съдържание

МАО 2024, Теория, 9. клас — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2024

LXXVIII Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2024 г. 9 класс · 8 т.

Условие

Вокруг красного карлика Солоса вращается землеподобная планета Земос. У планеты есть спутник Лунос. Иногда на Земосе наблюдаются полные затмения Луноса. На какую минимальную высоту над поверхностью Земоса надо подняться наблюдателю, чтобы одновременно видеть центры дисков Солоса и Луноса во время максимальной фазы центрального затмения Луноса? Влиянием атмосферы Земоса пренебречь. Ответ приведите в километрах и округлите до целого. Параметры этой системы приведены в таблице.

Параметр	Значение, км
Радиус Земоса (сжатием пренебречь)	6000.0
Расстояние Земос–Лунос	38000.0
Расстояние Земос–Солос	1500000

Отговори

Решение

Решение. Чтобы решить задачу, надо правильно представлять себе положение всех тел, участвующих в явлении. Во время максимальной фазы центрального лунного затмения центры Солоса, Земоса и Луноса лежат строго на одной прямой. Нарисуем рисунок. Можно представить себе лучи, выходящие из центров Луноса и Солоса (обозначены буквами Л и С) и являющиеся касательными к поверхности Земоса. Они пересекутся на некоторой высоте над поверхностью. Это и будет искомая минимальная высота наблюдателя (он находится в точке Н, а центры обоих тел можно увидеть лишь из закрашенной области). Если посмотреть на представленный в решении рисунок, то можно увидеть, что перпендикуляр, опущенный из точки Н на линию СЛ, не проходит через точку З. Это надо обязательно учесть в решении. Из-за этого треугольники НСЗ и НЛЗ не являются прямоугольными.

Схема затмения: окружность — Земос с центром З; на горизонтальной прямой через З слева точка С (Солос), справа точка Л (Лунос). Из С и Л проведены касательные к окружности с точками касания П₂ и П₁; касательные пересекаются над поверхностью в точке Н, над которой закрашена серым область. Из З проведены отрезки к П₁, П₂ и Н.

Дополним рисунок. Проведём перпендикуляры из точки З к касательным: $\text{ЗП}_1$ и $\text{ЗП}_2$ . В прямоугольных треугольниках $\text{ЛЗП}_1$ и $\text{СЗП}_2$ мы знаем по две стороны – радиус Земоса и расстояния СЗ и ЛЗ. Найдем углы, под которыми с Солоса и Луноса виден радиус Земоса (это аналоги земных суточных параллаксов):

\sin\angle\text{ЗЛП}_1 = \frac{\text{ЗП}_1}{\text{ЛЗ}} = \frac{6000\ \text{км}}{38\,000\ \text{км}} \approx 0.15789; \quad \Rightarrow \quad \angle\text{ЗЛП}_1 = 9.085^{\circ}.

\sin\angle\text{ЗСП}_2 = \frac{\text{ЗП}_2}{\text{СЗ}} = \frac{6000\ \text{км}}{1\,500\,000\ \text{км}} \approx 0.004; \quad \Rightarrow \quad \angle\text{ЗСП}_2 = 0.2292^{\circ}.

Задача свелась к геометрической: мы знаем в треугольнике СЛН два угла и сторону СЛ. Найти НЗ и вычислить искомую величину можно разными способами. Приведём два из них.

1-й способ. Треугольники $\triangle\text{НП}_1\text{З}$ и $\triangle\text{НП}_2\text{З}$ равны, поскольку они прямоугольные, стороны $\text{П}_1\text{З}$ и $\text{П}_2\text{З}$ равны (это радиус Земоса), а сторона НЗ у них общая. Следовательно,

\angle\text{ЗНП}_1 = \angle\text{ЗНП}_2 = \frac{\angle\text{СНЛ}}{2} = 180^{\circ} - 9.085^{\circ} - 0.2292^{\circ} = 85.343^{\circ}.

Тогда

\text{НЗ} = \frac{\text{ЗП}_1}{\sin\angle\text{ЗНП}_1} \approx 6020\ \text{км}.

Отсюда искомая высота примерно равна 20 км.

2-й способ. Воспользоваться теоремой синусов и найдём сначала, например, сторону НЛ. После этого используем теорему косинусов для треугольника $\triangle\text{НЛЗ}$ и найдём сторону НЗ.

Теорема синусов:

\frac{\sin\angle\text{НСЗ}}{\text{НЛ}} = \frac{\sin\angle\text{СНЛ}}{\text{СЛ}}

\text{НЛ} = \text{СЛ}\cdot\frac{\sin\angle\text{НСЗ}}{\sin\angle\text{СНЛ}} = (1500000 + 38000)\cdot\frac{\sin(0.2292^{\circ})}{\sin(180^{\circ} - 9.085^{\circ} - 0.2292^{\circ})} = 38\,025.7\ \text{км}

Теорема косинусов:

\text{НЗ} = \sqrt{\text{ЗЛ}^2 + \text{НЛ}^2 - 2\cdot\text{ЗЛ}\cdot\text{НЛ}\cdot\cos\angle\text{НЛЗ}} = \sqrt{38000^2 + 38025.7^2 - 2\cdot 38000\cdot 38025.7\cdot\cos 9.085^{\circ}} \approx 6021.2\ \text{км}

Высота точки Н над поверхностью планеты составит примерно 21 км.

Критерии проверки

Определение суточных параллаксов Луноса и Солоса по 2 балла
Расстояние ЗН 3 балла
Ответ 1 балл

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(А. М. Татарников)

Бланк к задаче 6

Сдайте этот лист вместе с работой!

К задаче 6

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца	$L_{\odot} = 3.827\cdot 10^{26}\ \text{Вт}$
Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.78^\mathrm{m}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца	$M_{\odot} = 4.72^\mathrm{m}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot} = 5800\ \mathrm{K}$
Солнечная постоянная	$E_{\odot} = 1360.8\ \text{Вт}\,\text{м}^{-2}$
Поток солнечной энергии в видимых лучах на расстоянии Земли	$= 600\ \text{Вт}\,\text{м}^{-2}$
Тропический год	$= 365.24219\ \text{сут}$
Звёздные сутки	$= 23\ \text{ч}\ 56\ \text{мин}\ 04\ \text{с}$
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц	$S_{\text{☾}} = 29.530\,59\ \text{сут}$
Видимая звёздная величина полной Луны	$m_{\text{☾}} = -12.7^\mathrm{m}$
Число звёзд в нашей Галактике	$= 10\cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики	$= 20\ \text{кпк}$
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)	$= 2\cdot 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная	$G = 6.674\cdot 10^{-11}\ \text{м}^3\,\text{кг}^{-1}\,\text{с}^{-2}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998\cdot 10^{8}\ \text{м}\,\text{с}^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5.67\cdot 10^{-8}\ \text{кг}\,\text{с}^{-3}\,\mathrm{K}^{-4}$
Постоянная Планка	$\mathrm{h} = 6.626\cdot 10^{-34}\ \text{Дж}\,\text{с}$
Масса протона	$m_\mathrm{p} = 1.67\cdot 10^{-27}\ \text{кг}$
Астрономическая единица	$1\ \text{а. е.} = 1.496\cdot 10^{11}\ \text{м}$
Парсек	$1\ \text{пк} = 3.086\cdot 10^{16}\ \text{м}$
Время накопления сигнала глазом	$= 0.05\ \text{с}$

Формулы приближённого вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \operatorname{tg} x \approx x

\ln(1+x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989\times 10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302\times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869\times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974\times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348\times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419\times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899\times 10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685\times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683\times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024\times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2024_teor_9_exam.pdf · официални решения: mos_astro_2024_teor_9_ans.pdf