Съдържание

МАО 2025, Теория, 10. клас — Задача 7

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2025

LXXIX Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2025 г. 10 класс · 12 т.

Требования к оформлению решения

В решении для всех вычислений должна быть представлена формула, где искомая величина записана как явная функция известных величин, записаны подставляемые значения и только потом ответ. Если численные значения получаются из рисунков/графиков, должно быть показано, что именно измерялось.

Условие

Вам предоставлена схема видимого перемещения звезды в течение нескольких лет при наблюдении с Земли ( $\Delta\lambda$ — изменение эклиптической долготы, $\Delta\beta$ — изменение эклиптической широты). Эффекты аберрации света удалены.

График видимого движения звезды: по горизонтальной оси Δλ, ″ от 6 (слева) до 0 (справа), по вертикальной Δβ, ″ от −1.00 до 1.00 с шагом 0.25; сетка пунктиром. Кривая — пять петель, смещающихся справа налево, с размахом по Δβ примерно от −0.42 до 0.42; кривая начинается у Δλ ≈ 0 и заканчивается у Δλ ≈ 6.

Определите следующие величины:

1. расстояние до звезды;

2. собственное движение звезды;

3. эклиптическую широту звезды;

4. период времени, за который произошло перемещение звезды.

Отговори

Решение

Решение. Обратим внимание, в каких координатах нам предоставлен график. По вертикальной оси отложено изменение эклиптической широты, а по горизонтальной оси — изменение эклиптической долготы. Заметим, что такие построения даются в системе координат, привязанной к конкретной дате, наблюдения очищены от посторонних эффектов, таких как прецессия, нутация, аберрация света, дрожание атмосферы.

Разберёмся в причинах наблюдаемого движения звезды. В условии сказано, что данные «зачищены» от эффекта аберрации света. Какие эффекты тогда остались? Ответ на данный вопрос легко найти в формулировке задачи. Собственное движение звезды на малых временах приводит к постоянному движению звезды на небесной сфере в заданном направлении, а параллактическое смещение должно иметь форму окружности или эллипса, в зависимости от эклиптической широты. Эти два эффекта и описывают наблюдаемое движение.

Параллактический эллипс — это движение звезды в течение года. Малая полуось параллактического эллипса всегда смотрит на полюс мира. Соотношение между малой ( $b$ ) и большой ( $a$ ) полуосями эллипса:

\frac{b}{a} = \sin|\beta|.

Каждая петля наблюдаемого движение — один земной год. Прошло чуть больше 5 петель, следовательно, ответ на последний вопрос задачи — 5 лет.

Тот же график видимого движения звезды (Δλ, ″ от 6 до 0; Δβ, ″ от −1.00 до 1.00) с отмеченными красными точками на линии Δβ = 0: A при Δλ = 0, B при Δλ ≈ 1.2, D при Δλ = 3, C при Δλ = 6.

Обратим внимание, что собственное движение звезды происходит в «горизонтальном» направлении без изменения эклиптической широты. Это можно доказать, подстроив касательные к верхним и нижним точкам. Следовательно, на линии $\Delta\beta = 0$ лежит большая полуось параллактического эллипса. Поставим точку A на большой полуоси. Через год звезда должна вернуться в ту же самую точку на параллактическом эллипсе, но она оказывается уже в точке B.

Расстояние между точками A и B является величиной собственного движение звезды. Измерим эту величину на графике. Чтобы точность измерений была лучше, сделаем измерение не одного, а нескольких периодов. Рассмотрим точки A и C.

\mu_{\lambda} = \frac{C - A}{5} = \frac{6}{5} = 1.2''/\text{год}.

Чтобы определить параллакс звезды или величину параллактического смещения, добавим на график точку D. Прежде всего эта точка удобна тем, что легко определить её абсциссу. Время, за которое произошло перемещение звезды от точки A до D – 1.5 года. За это время звезда переместилась на расстояние

l = 1.5\cdot\mu + 2\pi_{\lambda} = 3'',

где $\pi_{\lambda}$ — величина годичного параллакса. Тогда

1.5\cdot 1.2 + 2\pi_{\lambda} = 3 \quad\Rightarrow\quad 1.8 + 2\pi_{\lambda} = 3 \quad\Rightarrow\quad \pi_{\lambda} = 0.6''.

Поскольку в задаче требуется найти расстояние до звезды, то

r = \frac{1\ \text{пк}}{\pi''_{\lambda}} = \frac{1}{0.6} \approx 1.7\ \text{пк}.

Осталось ответить на третий вопрос задачи про эклиптическую широту, которая позволит нам дать окончательные ответы на вопросы относительно собственного движения и параллакса. Измерим величину смещения по вертикальной оси. Она равна $b = 0.42''$ . Тогда

\sin|\beta| = \frac{b}{\pi_{\lambda}} = \frac{0.42}{0.6} \quad\Rightarrow\quad \beta \approx \pm 45^{\circ}

Такое решение оценивается полным баллом. Тем не менее у этой задачи есть продолжение решения.

После того как определили величину собственного движения $\mu_{\lambda} = 1.2''$ , стоит задаться вопросом, а что же именно найдено. Смещение на один градус по долготе на разных широтах приводит к реальным смещениям тем меньше, чем дальше от экватора оно происходит. Поскольку длина параллели в $\cos\beta$ раз меньше длины экватора, то и измеренное собственное движение по эклиптической долготе в действительности в $\cos\beta$ раз меньше истинного. Полное собственное движение будет равно:

\mu = \sqrt{\mu_{\beta}^2 + (\mu_{\lambda}\cos\beta)^2} = \mu_{\lambda}\cos|\beta|.

Здесь мы учли, что собственного движение по координате $\beta$ равно 0.

Наблюдаемое значение параллактического смещения $0.6''$ также необходимо скорректировать в $\cos\beta$ раз. Значит, истинное значение параллакса

\pi = \pi_{\lambda}\cdot\cos\beta.

Теперь воспользуемся формулой соотношения большой и малой полуосей параллактического эллипса и его связью с эклиптической широтой.

\frac{b}{\pi} = \sin|\beta| \quad\Rightarrow\quad \frac{b}{\pi_{\lambda}\cdot\cos\beta} = \sin|\beta| \quad\Rightarrow\quad \frac{b}{\pi_{\lambda}} = \sin|\beta|\cos\beta = \frac{1}{2}\sin(2|\beta|)

Отсюда получаем синус больше единицы и вывод, что решения нет.

Критерии проверки

Утверждение, что наблюдаемое движение следствие двух эффектов 1 балл
Оценка периода времени наблюдений. Принимается 5–6 лет 1 балл
Утверждение, что собственное движение звезды происходит по горизонтали 1 балл
Определение собственного движения звезды $1.2 \pm 0.1$ 2 балла

Верно получены данные на графике — 1 балл, получение верного значения — 1 балл.
Определение параллакса $0.60 \pm 0.05''$ 3 балла

Верно получены данные на графике — 1 балл, модель вычисления — 1 балл, получение верного значения — 1 балл.
Определение расстояния от 1.6 до 1.75 пк 1 балл
Определение эклиптической широты 3

Выполнение измерений на графике — 1 балл, Формулирование метода и получение одного значения — 1 балл, корректная запись пары ответов —1 балл.

Максимальная оценка за задачу 12 баллов.

(В. Б. Игнатьев)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца $L_{\odot} = 3.827\cdot 10^{26}$ Вт
Видимая звёздная величина Солнца $m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца $M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца $T_{\odot} = 5800$ K
Солнечная постоянная $E_{\odot} = 1360.8$ Вт м $^{-2}$
Поток солнечной энергии в видимых лучах на расстоянии Земли $= 600$ Вт м $^{-2}$
Тропический год $= 365.24219$ сут
Звёздные сутки $= 23$ ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике $\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц $S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны $m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике $= 10\cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики $= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца) $= 2\cdot 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная $G = 6.674\cdot 10^{-11}$ м $^3$ кг $^{-1}$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме $c = 2.998\cdot 10^{8}$ м с $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана $\sigma = 5.67\cdot 10^{-8}$ кг с $^{-3}$ K $^{-4}$
Постоянная Планка $\mathrm{h} = 6.626\cdot 10^{-34}$ Дж с
Масса протона $m_{\mathrm{p}} = 1.67\cdot 10^{-27}$ кг
Астрономическая единица 1 а. е. $= 1.496\cdot 10^{11}$ м
Парсек 1 пк $= 3.086\cdot 10^{16}$ м
Время накопления сигнала глазом $= 0.05$ с

Формулы приближённого вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \operatorname{tg} x \approx x

\ln(1+x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989\times 10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302\times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869\times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974\times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348\times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419\times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899\times 10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685\times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683\times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024\times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2025_teor_10_exam.pdf · официални решения: mos_astro_2025_teor_10_ans.pdf