Съдържание

МАО 2025, Теория, 10. клас — Задача 6

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2025

LXXIX Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2025 г. 10 класс · 8 т.

Требования к оформлению решения

В решении для всех вычислений должна быть представлена формула, где искомая величина записана как явная функция известных величин, записаны подставляемые значения и только потом ответ. Если численные значения получаются из рисунков/графиков, должно быть показано, что именно измерялось.

Условие

Предположим, появилась большая потребность разместить геостационарный спутник Земли ровно в зените над Парижем (широта $\varphi = 48^{\circ}50'$ ). Расстояние до спутника должно быть таким, чтобы время от отправки сигнала из Парижа до получения ответного сигнала от спутника составляло десятую долю секунды. Под каким углом относительно направления на Париж должно быть направлено сопло двигателя, чтобы спутник действительно замер ровно в зените Парижа? Определите величину ускорения, создаваемого двигателем в единицах $g$ (ускорения свободного падения на поверхности Земли).

Отговори

Решение

Решение. Время прихода ответного сигнала определяется скоростью света: он должен за десятую секунды пройти два отрезка, равных высоте спутника, откуда

h = \frac{1}{2}ct = 15\,000\ \text{км}.

Следовательно, расстояние от спутника до центра Земли

r = R_{\oplus} + h = 21\,400\ \text{км}.

Заметим, что эта величина примерно в два раза меньше радиуса геостационарной орбиты.

Векторная диаграмма ускорений спутника: из общей точки вверх направлен вектор a_r∥, вверх-вправо — a_r (угол ϑ с вертикалью), вправо — a_r⊥, влево — a, вниз-влево — a_g (угол φ с горизонталью, угол γ с пунктирным продолжением a_r). Внизу слева — дуга Земли с точкой «Париж» на широте φ над линией «Экватор».

Траекторией спутника будет окружность с радиусом $r\cos\varphi$ , центр которой не лежит в плоскости экватора, но лежит на продолжении оси вращения Земли. Мы знаем радиус окружности и период, с которым двигается спутник — звёздные сутки ( $T$ ). Следовательно, ускорение спутника должно быть направлено к центру окружности (параллельно экватору), а по величине должно быть равно

a = \omega^2 r\cos\varphi = \frac{4\pi^2}{T^2}r\cos\varphi.

На спутник, кроме двигателей, действует только одна сила — сила притяжения, направленная в сторону центра Земли. Следовательно, $a$ является векторной суммой гравитационного $a_{\mathrm{g}}$ и реактивного $a_{\mathrm{r}}$ ускорений. Двигатели должны полностью уравновесить силу притяжения вдоль оси вращения Земли:

a_{\mathrm{r}\parallel} = a_{\mathrm{g}}\sin\varphi = \frac{GM}{r^2}\sin\varphi.

Ускорение, которое будут создавать двигатели параллельно плоскости экватора (по направлению от оси Земли)

a_{\mathrm{r}\perp} = a_{\mathrm{g}}\cos\varphi - a = \frac{GM}{r^2}\cos\varphi - \frac{4\pi^2}{T^2}r\cos\varphi.

Здесь может возникнуть соблазн воспользоваться 3-м законом Кеплера и прийти к выводу, что коэффициенты перед косинусами в правой части уравнения равны. Но надо учесть, что период обращения спутника $T$ соответствует периоду обращения на геостационарной орбите $r_0 \approx 42\,000$ км.

Тангенс угла, под которым (относительно оси вращения Земли) будет направлено суммарное ускорение

\operatorname{tg}\vartheta = \frac{a_{\mathrm{r}\perp}}{a_{\mathrm{r}\parallel}} = \frac{\frac{GM}{r^2}\cos\varphi - \frac{4\pi^2}{T^2}r\cos\varphi}{\frac{GM}{r^2}\sin\varphi} = \frac{1}{\operatorname{tg}\varphi}\left(1 - \frac{4\pi^2}{G}\frac{r^3}{MT^2}\right) = \frac{1}{\operatorname{tg}48^{\circ}50'}\left(1 - 0.13\right) = 0.76.

В итоге получаем $\vartheta = \operatorname{arctg}0.76 \approx 37.2^{\circ}$ . Двигатели направлены против ускорения. Тогда угол относительно направления на Париж

\gamma = 90^{\circ} - \vartheta - \varphi \approx 4^{\circ}.

Модуль вектора $\vec{a}_{\mathrm{r}}$ равен

\begin{aligned} a_{\mathrm{r}} &= \sqrt{a_{\mathrm{r}\parallel}^2 + a_{\mathrm{r}\perp}^2} = \sqrt{\left(\frac{GM}{R_{\oplus}^2}\cdot\frac{R_{\oplus}^2}{r^2}\sin\varphi\right)^2 + \left(\frac{GM}{R_{\oplus}^2}\cdot\frac{R_{\oplus}^2}{r^2}\cos\varphi - \frac{GM}{R_{\oplus}^2}\cdot\frac{R_{\oplus}^2 r}{r_0^3}\cos\varphi\right)^2} = \\ &= g\sqrt{\frac{R_{\oplus}^4}{r^4}\sin^2\varphi + \frac{R_{\oplus}^4}{r^4}\cos^2\varphi + \frac{R_{\oplus}^4 r^2}{r_0^6}\cos^2\varphi - \frac{2R_{\oplus}^4}{rr_0^3}\cos^2\varphi} = \frac{R_{\oplus}^2}{r^2}g\sqrt{1 + \left(\frac{r^6}{r_0^6} - \frac{2r^3}{r_0^3}\right)\cos^2\varphi}\end{aligned}

Здесь $R_{\oplus}$ — радиус Земли. Мы учли, что $g = GM/R_{\oplus}^2$ . Подставим числа.

a_{\mathrm{r}} \approx \frac{1}{3.36^2}\sqrt{1 + (0.51^6 - 2\cdot 0.51^3)\cos^2 48^{\circ}50'}g \approx 0.08g.

Критерии проверки

Определение высоты спутника над Парижем 1 балл

Если высота в 2 раза больше (не учтено, что сигнал должен пройти туда и обратно), то оценка за этот пункт и за получение конечных ответов не выставляется, но остальные оцениваются в полной мере.
Определение орбиты спутника 1 балл
Правильная физическая модель задачи 1 балл
Вывод формулы угла, определяющего направление сопла двигателя относительно Парижа 2 балла
Ответ на первый вопрос 1 балл
Вывод формулы для величины ускорения 1 балл
Ответ на второй вопрос 1 балл

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(А. В. Ребриков)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца $L_{\odot} = 3.827\cdot 10^{26}$ Вт
Видимая звёздная величина Солнца $m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца $M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца $T_{\odot} = 5800$ K
Солнечная постоянная $E_{\odot} = 1360.8$ Вт м $^{-2}$
Поток солнечной энергии в видимых лучах на расстоянии Земли $= 600$ Вт м $^{-2}$
Тропический год $= 365.24219$ сут
Звёздные сутки $= 23$ ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике $\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц $S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны $m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике $= 10\cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики $= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца) $= 2\cdot 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная $G = 6.674\cdot 10^{-11}$ м $^3$ кг $^{-1}$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме $c = 2.998\cdot 10^{8}$ м с $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана $\sigma = 5.67\cdot 10^{-8}$ кг с $^{-3}$ K $^{-4}$
Постоянная Планка $\mathrm{h} = 6.626\cdot 10^{-34}$ Дж с
Масса протона $m_{\mathrm{p}} = 1.67\cdot 10^{-27}$ кг
Астрономическая единица 1 а. е. $= 1.496\cdot 10^{11}$ м
Парсек 1 пк $= 3.086\cdot 10^{16}$ м
Время накопления сигнала глазом $= 0.05$ с

Формулы приближённого вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \operatorname{tg} x \approx x

\ln(1+x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989\times 10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302\times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869\times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974\times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348\times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419\times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899\times 10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685\times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683\times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024\times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2025_teor_10_exam.pdf · официални решения: mos_astro_2025_teor_10_ans.pdf