Съдържание

МАО 2025, Теория, 10. клас — Задача 5

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2025

LXXIX Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2025 г. 10 класс · 8 т.

Требования к оформлению решения

В решении для всех вычислений должна быть представлена формула, где искомая величина записана как явная функция известных величин, записаны подставляемые значения и только потом ответ. Если численные значения получаются из рисунков/графиков, должно быть показано, что именно измерялось.

Условие

Созвездие Хамелеона занимает на небе «прямоугольную» область между от $-75^{\circ}$ до $-82^{\circ}$ по склонению и от $7^{\mathrm{h}}\,40^{\mathrm{m}}$ до $13^{\mathrm{h}}\,40^{\mathrm{m}}$ по прямому восхождению. На каких широтах можно увидеть это созвездие на небе полностью в один момент времени?

Отговори

Решение

Решение. Для того чтобы созвездие было видно, необходимо, чтобы восходили над горизонтом самые южные его части. Южная граница созвездия отстоит от Южного полюса мира на $8^{\circ}$ , а значит, будет кульминировать в точке юга на $8^{\circ}$ с. ш. Это условие необходимое, но отнюдь не достаточное. Созвездие Хамелеона простирается по прямому восхождению на 6 часов, откуда следует, что когда одна из точек на его южной границе находится в верхней кульминации на горизонте, остальные находятся под горизонтом.

Схема: сектор созвездия, ограниченный двумя дугами и двумя радиальными отрезками; горизонтальная линия горизонта, на которой лежат точки A, S и B (S — точка юга, прямой угол между SP_s и горизонтом). Пунктиром A, S и B соединены с южным полюсом мира P_s внизу, угол при P_s прямой; у отрезка BP_s подпись 8°.

Рассмотрим ситуацию, когда восточный ( $A$ ) и западный ( $B$ ) «южные углы» созвездия одновременно находятся на горизонте. Расстояние этих точек от Южного полюса мира $P_{\mathrm{S}}$ равно $8^{\circ}$ . Угол $\angle AP_SB$ равен 6 часам или, в градусной мере, $90^{\circ}$ . Нам необходимо найти полярное расстояние $P_SS$ точки юга ( $S$ ). Очевидно, что $\angle SP_SB = 45^{\circ}$ , откуда

P_SS = 8^{\circ}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 5.7^{\circ}.

Южный полюс находится на глубине $5.7^{\circ}$ под горизонтом для наблюдателя на $5.7^{\circ}$ с. ш. При наблюдении на более южных широтах созвездие также можно будет наблюдать полностью.

Обратим внимание на эффекты, которые могут «приподнять» созвездие над горизонтом. Атмосферная рефракция у горизонта составляет $35' \approx 0.6^{\circ}$ , что вполне сравнимо с найденной поправкой к формуле верхней кульминации.

Можно вспомнить, что рост наблюдателя ненулевой, а значит должно наблюдаться понижение горизонта. Его величина для наблюдателя ростом 1.7 м при радиусе Земли 6400 км составляет однако всего $\sqrt{2\cdot 1.7/6.4\cdot 10^6} \approx 7.3\cdot 10^{-6}\ \text{рад} \approx 0.04^{\circ}$ , что более чем на порядок уступает величине рефракции и на ответ практически не влияет.

Таким образом, с учётом рефракции, которая отодвигает искомую границу на север, получаем ответ: $\varphi \in [90^{\circ}\ \text{ю. ш.};\ 6.3^{\circ}\ \text{с. ш.}]$ .

Замечание. Дадим решение для любителей сферической тригонометрии. Обозначим $AP_S = P_SB = p$ , $AS = SB = l$ , $P_SS = x$ . Применим теорему косинусов к сферическому треугольнику $AP_SB$ и воспользуемся тем фактом, что угол $AP_SB$ прямой:

\begin{gathered}\cos 2l = \cos p\cos p,\\ \cos 2l = 2\cos^2 l - 1 = \cos^2 p,\\ \cos l = \sqrt{\frac{\cos^2 p + 1}{2}}\end{gathered}

Теперь применим теорему косинусов для сферического треугольника $SP_SB$ , вновь учитывая, что угол при вершине $S$ прямой:

\cos p = \cos x\cos l \quad\Rightarrow\quad \cos x = \frac{\cos p}{\cos l} = \sqrt{\frac{2\cos^2 p}{\cos^2 p + 1}} = \sqrt{\frac{2}{1 + \frac{1}{\cos^2 p}}} = \sqrt{\frac{2}{2 + \operatorname{tg}^2 p}}.

Подставив значение $p$ , получим примерно то же самое значение $x \approx 5.7^{\circ}$ . Очевидно, что последний способ излишне сложен для такой простой задачи.

Критерии проверки

Правильный рисунок или описание условий видимости созвездия 2 балла

В частности, если указано, что созвездие можно увидеть в какой-то момент целиком из любой точки Южного полушария — 1 балл.
Определение высоты полюса мира 3 балла
Учёт рефракции 1 балл

При отсутствии этого пункта определение широты оценивается в полной мере.
Определение широты 2 балла

Если дано только граничное значение широты и из текста явно не понятно, что более южные широты тоже подходят, то 1 балл.

Если граничное значение неверно, то 0 баллов за этот этап вне зависимости от того, на каком этапе была сделана (кроме неучёта рефракции).

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(Е. Н. Фадеев)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца $L_{\odot} = 3.827\cdot 10^{26}$ Вт
Видимая звёздная величина Солнца $m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца $M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца $T_{\odot} = 5800$ K
Солнечная постоянная $E_{\odot} = 1360.8$ Вт м $^{-2}$
Поток солнечной энергии в видимых лучах на расстоянии Земли $= 600$ Вт м $^{-2}$
Тропический год $= 365.24219$ сут
Звёздные сутки $= 23$ ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике $\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц $S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны $m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике $= 10\cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики $= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца) $= 2\cdot 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная $G = 6.674\cdot 10^{-11}$ м $^3$ кг $^{-1}$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме $c = 2.998\cdot 10^{8}$ м с $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана $\sigma = 5.67\cdot 10^{-8}$ кг с $^{-3}$ K $^{-4}$
Постоянная Планка $\mathrm{h} = 6.626\cdot 10^{-34}$ Дж с
Масса протона $m_{\mathrm{p}} = 1.67\cdot 10^{-27}$ кг
Астрономическая единица 1 а. е. $= 1.496\cdot 10^{11}$ м
Парсек 1 пк $= 3.086\cdot 10^{16}$ м
Время накопления сигнала глазом $= 0.05$ с

Формулы приближённого вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \operatorname{tg} x \approx x

\ln(1+x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989\times 10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302\times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869\times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974\times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348\times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419\times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899\times 10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685\times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683\times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024\times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2025_teor_10_exam.pdf · официални решения: mos_astro_2025_teor_10_ans.pdf