Съдържание

МАО 2025, Теория, 10. клас — Задача 4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2025

LXXIX Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2025 г. 10 класс · 8 т.

Требования к оформлению решения

В решении для всех вычислений должна быть представлена формула, где искомая величина записана как явная функция известных величин, записаны подставляемые значения и только потом ответ. Если численные значения получаются из рисунков/графиков, должно быть показано, что именно измерялось.

Условие

В англоязычной литературе, посвящённой исследованиям фона неба, иногда в качестве единиц измерения поверхностной яркости используются единицы $S_{10}(\mathrm{V})$ , где V означает спектральный диапазон, в данном случае — визуальный. Одна $S_{10}(\mathrm{V})$ соответствует поверхностной яркости в видимом диапазоне, создаваемой потоком от одной звезды спектрального типа G2V 10-й звёздной величины в полосе V, «размазанным» по площади в один квадратный градус. Две единицы $S_{10}(\mathrm{V})$ соответствуют яркости, создаваемой двумя звёздами и т. д.

В Крымской обсерватории среднее значение фона неба в видимом диапазоне оказалось равно 20 звёздным величинам с квадратной секунды.

1. Чему равно среднее значение яркости фона неба в видимом диапазоне в Крымской обсерватории в единицах $S_{10}(\mathrm{V})$ ?

2. Галактика M31 (Туманность Андромеды) имеет размеры $3^{\circ}\times 1^{\circ}$ и видимую звёздную величину $+3.44^m$ . Оцените поверхностную яркость галактики в величинах $S_{10}(\mathrm{V})$ . Считайте, что форма M31 при наблюдении с Земли близка к эллипсу.

Отговори

Решение

Решение. Переведем яркость фона неба в Крымской обсерватории из звёздных величин на квадратную секунду в звёздные величины на квадратный градус. Для этого воспользуемся формулой Погсона. Так как площадь квадратного градуса в $3600\times 3600 = 12\,960\,000$ раз больше, чем площадь квадратной секунды, то во столько же раз больше приходит от него света:

m_{\text{градус}} - 20^m = -2.5\lg(129\,600\,000) \quad\Rightarrow\quad m_{\text{градус}} = 2.22^m.

Теперь опять же с помощью формулы Погсона посчитаем, сколько звёзд $10^m$ нужно, чтобы получить поток как от звезды $2.22^m$ . Пусть $E_{10}$ — освещённость, создаваемая звездой $10^m$ , а $E_{2.22}$ — освещённость, создаваемая звездой $2.22^m$ . Тогда

\frac{E_{2.22}}{E_{10}} = \frac{NE_{10}}{E_{10}} = N = 10^{-0.4(2.22-10)} = 1294.

Получается, что фон неба эквивалентен $1294S_{10}(\mathrm{V})$ .

Площадь М31 в квадратных градусах равна

S = \pi ab = \pi\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2} \approx 2.356^{\square}.

С помощью формулы Погсона перейдём к поверхностной яркости M31 в звёздных величинах с квадратного градуса

m_{\text{A, градус}} - 3.44^m = -2.5\lg\left(\frac{1}{S}\right) \quad\Rightarrow\quad m_{\text{A, градус}} = 3.44 + 2.5\lg 2.356 \approx 4.37^m.

Переведём её в $S_{10}(\mathrm{V})$ так же, как мы делали это выше:

N = 10^{-0.4(4.37-10)} \approx 179.

Получаем, что яркость Туманности Андромеды равна $179S_{10}(\mathrm{V})$ .

Критерии проверки

Ответ на первый вопрос: формула + значение 2 + 2 балла
Вычисление площади на небе, занимаемой Туманностью Андромеды 1 балл
Ответ на второй вопрос: формула + значение 1 + 2 балла

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(А. А. Татарников)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца $L_{\odot} = 3.827\cdot 10^{26}$ Вт
Видимая звёздная величина Солнца $m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца $M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца $T_{\odot} = 5800$ K
Солнечная постоянная $E_{\odot} = 1360.8$ Вт м $^{-2}$
Поток солнечной энергии в видимых лучах на расстоянии Земли $= 600$ Вт м $^{-2}$
Тропический год $= 365.24219$ сут
Звёздные сутки $= 23$ ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике $\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц $S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны $m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике $= 10\cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики $= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца) $= 2\cdot 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная $G = 6.674\cdot 10^{-11}$ м $^3$ кг $^{-1}$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме $c = 2.998\cdot 10^{8}$ м с $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана $\sigma = 5.67\cdot 10^{-8}$ кг с $^{-3}$ K $^{-4}$
Постоянная Планка $\mathrm{h} = 6.626\cdot 10^{-34}$ Дж с
Масса протона $m_{\mathrm{p}} = 1.67\cdot 10^{-27}$ кг
Астрономическая единица 1 а. е. $= 1.496\cdot 10^{11}$ м
Парсек 1 пк $= 3.086\cdot 10^{16}$ м
Время накопления сигнала глазом $= 0.05$ с

Формулы приближённого вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \operatorname{tg} x \approx x

\ln(1+x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989\times 10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302\times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869\times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974\times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348\times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419\times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899\times 10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685\times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683\times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024\times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2025_teor_10_exam.pdf · официални решения: mos_astro_2025_teor_10_ans.pdf