Съдържание

МАО 2025, Теория, 10. клас — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2025

LXXIX Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2025 г. 10 класс · 8 т.

Требования к оформлению решения

В решении для всех вычислений должна быть представлена формула, где искомая величина записана как явная функция известных величин, записаны подставляемые значения и только потом ответ. Если численные значения получаются из рисунков/графиков, должно быть показано, что именно измерялось.

Условие

Предположим, что наше Солнце вдруг распалось на две одинаковые звезды, которые достаточно быстро вернулись на главную последовательность. На сколько градусов изменится эффективная температуры Земли после этого?

Считайте, что альбедо Земли останется прежним. Звёзды расположены близко друг к другу на месте Солнца, но не деформированы. Перетекания вещества нет. Парниковый эффект не учитывать.

Отговори

Решение

Решение. Земля нагревается излучением Солнца. Если $L_0$ — светимость Солнца, $a_0$ — радиус орбиты Земли, $R$ — радиус Земли и $A$ — альбедо Земли, то в единицу времени Земля поглощает от Солнца энергию в количестве

J = \frac{L_0}{4\pi a_0^2}(1-A)\pi R^2.

Если температура Земли постоянна, то вся эта энергия излучается Землей: $J = 4\pi R^2\sigma T_0^4$ . Здесь $\sigma$ — постоянная Стефана — Больцмана, $T_0$ — текущая температура Земли. Приравнивая правые части этих двух уравнений, получим

\frac{L_0}{4\pi a_0^2}(1-A)\pi R^2 = 4\pi R^2\sigma T_0^4 \quad\Rightarrow\quad T_0 = \sqrt[4]{\frac{L_0}{16\pi\sigma a_0^2}(1-A)} \propto \sqrt[4]{L_0}.

Для звёзд главной последовательности с массами от $0.5M_{\odot}$ до $2M_{\odot}$ ( $M_{\odot}$ — масса Солнца) справедлива зависимость масса — светимость в виде $L \propto M^4$ . Тогда светимость звезды с массой $M_{\odot}/2$ равна

\frac{L}{L_0} = \left(\frac{M_{\odot}/2}{M_{\odot}}\right)^4 = \frac{1}{16}.

По условию задачи Землю будут освещать две таких звезды. Тогда отношение новой и старой температур будет равно

\frac{T}{T_0} = \sqrt[4]{2\cdot\frac{1}{16}} = \frac{\sqrt[4]{2}}{2} \approx 0.6 = k.

Изменение температуры составит

\Delta T = T_0 - T = T_0 - kT_0 = T_0(1-k) \approx 0.4T_0.

Величину $T_0$ можно вычислить по формуле, полученной ранее: $T_0 \approx 254$ К. Тогда изменение температуры составит $\Delta T \approx 100$ К.

Критерии проверки

Вывод или запись формулы для равновесной температуры 2 балла
Запись зависимости $L(M)$ 1 балл
Отношение температур 2 балла
Текущая температура 1 балл
Окончательный ответ: формула + значение 2 балла

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(С. Г. Желтоухов)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца $L_{\odot} = 3.827\cdot 10^{26}$ Вт
Видимая звёздная величина Солнца $m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца $M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца $T_{\odot} = 5800$ K
Солнечная постоянная $E_{\odot} = 1360.8$ Вт м $^{-2}$
Поток солнечной энергии в видимых лучах на расстоянии Земли $= 600$ Вт м $^{-2}$
Тропический год $= 365.24219$ сут
Звёздные сутки $= 23$ ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике $\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц $S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны $m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике $= 10\cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики $= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца) $= 2\cdot 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная $G = 6.674\cdot 10^{-11}$ м $^3$ кг $^{-1}$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме $c = 2.998\cdot 10^{8}$ м с $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана $\sigma = 5.67\cdot 10^{-8}$ кг с $^{-3}$ K $^{-4}$
Постоянная Планка $\mathrm{h} = 6.626\cdot 10^{-34}$ Дж с
Масса протона $m_{\mathrm{p}} = 1.67\cdot 10^{-27}$ кг
Астрономическая единица 1 а. е. $= 1.496\cdot 10^{11}$ м
Парсек 1 пк $= 3.086\cdot 10^{16}$ м
Время накопления сигнала глазом $= 0.05$ с

Формулы приближённого вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \operatorname{tg} x \approx x

\ln(1+x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989\times 10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302\times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869\times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974\times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348\times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419\times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899\times 10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685\times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683\times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024\times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2025_teor_10_exam.pdf · официални решения: mos_astro_2025_teor_10_ans.pdf