Съдържание

МАО 2025, Теория, 11. клас — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2025

LXXIX Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2025 г. 11 класс · 8 т.

Требования к решению

В решении для всех вычислений должна быть представлена формула, где искомая величина записана как явная функция известных величин, записаны подставляемые значения и только потом ответ. Если численные значения получаются из рисунков/графиков, должно быть показано, что именно измерялось.

Условие

Наше Солнце движется относительно реликтового излучения со скоростью примерно 370 км/с в направлении созвездия Чаша вблизи границы с созвездием Льва. Оцените максимальную температуру реликтового фона, которую мы можем зафиксировать. В каком созвездии она будет наблюдаться? Сейчас средняя температура фона составляет 2.725 К, излучением пыли пренебречь.

Отговори

Решение

Решение. Определим величину красного смещения, которое появляется в результате движения со скоростью $v = 370$ км/с:

z = \frac{\lambda - \lambda_0}{\lambda_0} = \frac{v}{c} \approx 1.23 \cdot 10^{-3}.

Здесь $\lambda_0$ — средняя по небу длина волны максимума реликтового излучения, $\lambda$ — длина волны максимума излучения в заданном направлении. Следует заметить, что если Солнце движется в сторону созвездия Чаши / Льва, то оно движется навстречу реликтовому излучению, а значит, в данном направлении длина волны реликтового излучения будет уменьшаться, то есть красное смещение будет отрицательным.

Реликтовое излучение — чёрнотельное, а длина волны его максимума подчиняется закону смещения Вина:

\lambda = \frac{b}{T},

где $T$ — температура излучения, а $b$ — некоторая константа. Тогда

z = \frac{\frac{1}{T} - \frac{1}{T_0}}{\frac{1}{T_0}} = \frac{T_0 - T}{T}.

Отсюда

\frac{T_0}{T} = z + 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{T}{T_0} = \frac{1}{z + 1} \quad \Rightarrow \quad T = \frac{T_0}{z + 1} = \frac{2.725}{1 - 0.00123} \approx 2.728\ \mathrm{K}.

Итого, максимальная температура реликтового излучения 2.728 К наблюдается в направлении созвездий Чаша и Лев.

Для справки, минимальная температура реликтового излучения наблюдается в противоположном направлении в созвездии Пегаса, неподалёку от созвездия Рыбы.

Критерии проверки

Вычисление красного смещения: формула + значение 1+1 балл
Формула закона смещения Вина 1 балл
Формула зависимости температуры от красного смещения в явном виде 2 балла
Численное значение температуры 2 балла

В случае ошибок на предыдущих этапах этот этап не оценивается

Созвездие 1 балл

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(С. Г. Желтоухов)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца	$L_{\odot} = 3.827 \cdot 10^{26}\ \text{Вт}$
Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца	$M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot} = 5800\ \mathrm{K}$
Солнечная постоянная	$E_{\odot} = 1360.8\ \text{Вт}\,\text{м}^{-2}$
Поток солнечной энергии в видимых лучах на расстоянии Земли	$= 600\ \text{Вт}\,\text{м}^{-2}$
Тропический год	$= 365.24219$ сут
Звёздные сутки	$= 23$ ч $56$ мин $04$ с
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц	$S_{☾} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны	$m_{☾} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике	$= 10 \cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики	$= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)	$= 2 \cdot 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная	$G = 6.674 \cdot 10^{-11}\ \text{м}^3\,\text{кг}^{-1}\,\text{с}^{-2}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998 \cdot 10^{8}\ \text{м}\,\text{с}^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}\ \text{кг}\,\text{с}^{-3}\,\mathrm{K}^{-4}$
Постоянная Планка	$\mathrm{h} = 6.626 \cdot 10^{-34}\ \text{Дж}\,\text{с}$
Масса протона	$m_{\mathrm{p}} = 1.67 \cdot 10^{-27}\ \text{кг}$
Астрономическая единица	$1\ \text{а. е.} = 1.496 \cdot 10^{11}\ \text{м}$
Парсек	$1\ \text{пк} = 3.086 \cdot 10^{16}\ \text{м}$
Время накопления сигнала глазом	$= 0.05\ \text{с}$

Формулы приближённого вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \operatorname{tg} x \approx x

\ln(1 + x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1 + x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989 \times 10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302 \times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869 \times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974 \times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348 \times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419 \times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899 \times 10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685 \times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683 \times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024 \times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2025_teor_11_exam.pdf · официални решения: mos_astro_2025_teor_11_ans.pdf