Съдържание

МАО 2025, Теория, 11. клас — Задача 4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2025

LXXIX Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2025 г. 11 класс · 8 т.

Требования к решению

В решении для всех вычислений должна быть представлена формула, где искомая величина записана как явная функция известных величин, записаны подставляемые значения и только потом ответ. Если численные значения получаются из рисунков/графиков, должно быть показано, что именно измерялось.

Условие

На орбите Юпитера в окрестностях точек Лагранжа $L_4$ и $L_5$ находятся две группы астероидов: «Греки» (опережают Юпитер) и «Троянцы». Два астероида, Грек и Троянец, находятся в точках Лагранжа своих групп. В некоторый момент времени на Земле наблюдалось противостояние Юпитера. Какое событие произойдёт раньше: противостояние Грека или квадратура Троянца? Через какое время наступят эти явления? Ответ дайте в сутках.

Отговори

Решение

Решение. Как известно, точки Лагранжа $L_4$ и $L_5$ находятся в вершинах равносторонних треугольников, образованных также Юпитером и Солнцем. Нарисуем рисунок, на котором обозначим Солнце ( $S$ ), Землю ( $E$ ) и Юпитер ( $J$ ), а также точки Лагранжа $L_4$ и $L_5$ . Пусть $a_{\mathrm{E}}$ и $a_{\mathrm{J}}$ — радиусы орбит Земли и Юпитера. Тогда $SJ = SL_4 = JL_4 = a_{\mathrm{J}}$ , а $EJ = a_{\mathrm{J}} - a_{\mathrm{E}}$ .

Чертёж: Солнце S вверху, Земля E под ним на малой окружности-орбите; большая дуга — орбита Юпитера с точками L5 (слева), L4 (справа) и J (внизу); отрезки SL5, SL4, L5J, L4J, EL5, EL4; пунктиры QQ′ (горизонталь через E), SQ и вертикаль EJ с подписью a_J − a_E; отрезок L5J подписан a_J; углы γ при S и 60° при J, прямой угол при E.

Перейдём в систему отсчёта, в которой Солнце, Юпитер и точки Лагранжа покоятся. В такой системе отсчёта Земля будет двигаться по своей орбите против часовой стрелки, совершая оборот за синодический период Юпитера $S_{\mathrm{J}}$ . Его можно вычислить, зная сидерический период Юпитера $T_{\mathrm{J}} = 11.862$ года (см. справочные данные):

S_{\mathrm{J}} = \frac{11.862 \cdot 1}{11.862 - 1} \approx 1.09\,\text{года}.

В процессе движения Земли связанные с ней на чертеже пунктирные линии $SE$ и $QQ'$ также будут поворачиваться. Противостояние с Греком произойдёт тогда, когда пунктирная линия $SE$ совпадёт с линией $SL_4$ . К этому времени Земля пройдёт по орбите угол $60^{\circ}$ , на что потребуется шестая часть синодического периода, то есть 0.182 года или 66 сут.

Заметим, что в этот момент $\angle L_4EQ = 90^{\circ} < \angle L_4SL_5 = 120^{\circ}$ , то есть квадратура с Троянцем уже произошла.

Во время квадратуры точки $L_5$ для земного наблюдателя точка Q совпадёт с точкой $L_5$ . Угол $\angle QSE = \gamma$ составляет

\gamma = \arccos\frac{a_{\mathrm{E}}}{a_{\mathrm{J}}} \approx 79^{\circ}.

Значит, до квадратуры с Троянцем Земле надо пройти угол $\gamma - 60^{\circ} = 19^{\circ}$ . Земля совершит такое перемещение за

\frac{19^{\circ}}{360^{\circ}} S_{\mathrm{J}} \approx 0.058\,\text{года} \approx 21\,\text{сут}.

Критерии проверки

Синодический период Юпитера: формула + значение 1 + 1 балл
Время до противостояния Грека: формула + значение 1 + 1 балла
Время до квадратуры Троянца: формула + значение 2 + 1 балла
Вывод о том, какое событие раньше 1 балл

Если этот вывод сделан без вычисления времени до конфигурации одного из астероидов, то выставляется 2 балла.

В случае ошибки на предыдущих этапах, приводящих к изменению порядка событий, этот этап не засчитывается.

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(М. В. Силантьев)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца	$L_{\odot} = 3.827 \cdot 10^{26}\ \text{Вт}$
Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца	$M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot} = 5800\ \mathrm{K}$
Солнечная постоянная	$E_{\odot} = 1360.8\ \text{Вт}\,\text{м}^{-2}$
Поток солнечной энергии в видимых лучах на расстоянии Земли	$= 600\ \text{Вт}\,\text{м}^{-2}$
Тропический год	$= 365.24219$ сут
Звёздные сутки	$= 23$ ч $56$ мин $04$ с
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц	$S_{☾} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны	$m_{☾} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике	$= 10 \cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики	$= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)	$= 2 \cdot 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная	$G = 6.674 \cdot 10^{-11}\ \text{м}^3\,\text{кг}^{-1}\,\text{с}^{-2}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998 \cdot 10^{8}\ \text{м}\,\text{с}^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}\ \text{кг}\,\text{с}^{-3}\,\mathrm{K}^{-4}$
Постоянная Планка	$\mathrm{h} = 6.626 \cdot 10^{-34}\ \text{Дж}\,\text{с}$
Масса протона	$m_{\mathrm{p}} = 1.67 \cdot 10^{-27}\ \text{кг}$
Астрономическая единица	$1\ \text{а. е.} = 1.496 \cdot 10^{11}\ \text{м}$
Парсек	$1\ \text{пк} = 3.086 \cdot 10^{16}\ \text{м}$
Время накопления сигнала глазом	$= 0.05\ \text{с}$

Формулы приближённого вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \operatorname{tg} x \approx x

\ln(1 + x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1 + x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989 \times 10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302 \times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869 \times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974 \times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348 \times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419 \times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899 \times 10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685 \times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683 \times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024 \times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2025_teor_11_exam.pdf · официални решения: mos_astro_2025_teor_11_ans.pdf