Съдържание

МАО 2025, Теория, 11. клас — Задача 6

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2025

LXXIX Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2025 г. 11 класс · 8 т.

Требования к решению

В решении для всех вычислений должна быть представлена формула, где искомая величина записана как явная функция известных величин, записаны подставляемые значения и только потом ответ. Если численные значения получаются из рисунков/графиков, должно быть показано, что именно измерялось.

Условие

Наблюдатель на экваторе заметил ровно в точке запада на горизонте геосинхронный полярный спутник, обращающийся по круговой орбите. Определите максимальную высоту этого спутника в данном пункте.

Отговори

Решение

Решение. Геосинхронный спутник совершает один оборот вокруг Земли за одни звёздные сутки. Частным случаем геосинхронной является геостационарная орбита. Раз спутник движется по круговой орбите, её радиус равен радиусу геостационарной орбиты:

r = \sqrt[3]{\frac{GM_{\oplus}T_{\oplus}^2}{4\pi^2}} \approx 42\,000\ \text{км}.

Здесь $G$ — гравитационная постоянная, $M_{\oplus}$ — масса Земли, $T_{\oplus}$ — звёздные сутки. Треугольник спутник — центр Земли — наблюдатель прямоугольный. Найдём угол спутник — центр Земли — наблюдатель из определения косинуса:

\cos\varphi = \frac{R_{\oplus}}{r} \quad \Rightarrow \quad \varphi = \arccos\frac{R_{\oplus}}{r} \approx 81^{\circ}.

Чертёж: окружность Земли (подпись «Земля») с центром; из центра вертикальный радиус R⊕ к точке «Наблюдатель»; горизонтальная линия от наблюдателя к точке «Спутник»; отрезок r от центра Земли к спутнику; угол φ при центре Земли.

Здесь $R_{\oplus}$ — радиус Земли.

Введём систему координат с центром в центре Земли так, что в момент, описанный в задаче, ось $Ox$ совпадает с направлением на спутник, ось $Oy$ направлена на полюс Земли, ось $Oz$ дополняет до правой тройки. Таким образом, плоскость орбиты лежит в плоскости $xy$ . Запишем зависимости координат спутника от времени, обозначив за $\omega$ угловую скорость вращения Земли.

\begin{aligned} x_{\text{с}} &= r\cos\omega t \\ y_{\text{с}} &= r\sin\omega t \\ z_{\text{с}} &= 0 \end{aligned}

Координаты наблюдателя в этой же системе координат

\begin{aligned} x_{\text{н}} &= R_{\oplus}\cos(\omega t + \varphi) \\ y_{\text{н}} &= 0 \\ z_{\text{н}} &= R_{\oplus}\sin(\omega t + \varphi) \end{aligned}

Нас интересует момент времени, когда высота спутника максимальна. Он соответствует моменту времени, когда расстояние до спутника минимально. Запишем квадрат расстояния и посмотрим, чему равен его минимум.

\begin{gathered} d^2 = (x_{\text{с}} - x_{\text{н}})^2 + (y_{\text{с}} - y_{\text{н}})^2 + (z_{\text{с}} - z_{\text{н}})^2 = \\ = (r\cos\omega t)^2 + (R_{\oplus}\cos(\omega t + \varphi))^2 - 2(r\cos\omega t)(R_{\oplus}\cos(\omega t + \varphi)) + (r\sin\omega t)^2 + (R_{\oplus}\sin(\omega t + \varphi))^2. \end{gathered}

Преобразуем, используя основное тригонометрическое тождество

d^2 = r^2 + R_{\oplus}^2 - 2(r\cos\omega t)(R_{\oplus}\cos(\omega t + \varphi)) = \mathrm{const} - 2rR_{\oplus} \cdot (\cos\omega t\cos(\omega t + \varphi)).

Значит, необходимо определить максимальное значение произведения косинусов. Для его анализа, воспользуемся, например формулой косинуса суммы:

\cos(\omega t)\cos(\omega t + \varphi) = \cos(\omega t)\bigl(\cos(\omega t)\cos(\varphi) - \sin(\omega t)\sin(\varphi)\bigr).

Теперь используем формулы для двойных углов

\begin{gathered} \cos(\omega t)\cos(\omega t + \varphi) = \frac{1 + \cos(2\omega t)}{2}\cos(\varphi) - \frac{\sin(2\omega t)}{2}\sin(\varphi) = \\ = \frac{1}{2}\left[\cos\varphi + \cos(2\omega t + \varphi)\right]. \end{gathered}

К этой формуле можно было прийти сразу, если использовать формулу для произведения косинусов

\cos(\omega t)\cos(\omega t + \varphi) = \frac{1}{2}\bigl(\cos(\omega t + \varphi - \omega t) + \cos(\omega t + \varphi + \omega t)\bigr) = \frac{1}{2}\cos\varphi + \frac{1}{2}\cos(2\omega t + \varphi).

Мы можем выбрать такое время $t$ , чтобы косинус во втором слагаемом был равен единице. Тогда максимальное значение этого выражения равно

\frac{1}{2}(\cos\varphi + 1) = \cos^2\frac{\varphi}{2}.

Подставим это значение в выражение для минимального расстояния до спутника

d_{\min}^2 = r^2 + R_{\oplus}^2 - 2(rR_{\oplus})\frac{1}{2}(\cos\varphi + 1) = r^2 + R_{\oplus}^2 - rR_{\oplus} - rR_{\oplus}\cos\varphi.

Вспомним, чему равен $\cos\varphi$ :

d_{\min}^2 = r^2 + R_{\oplus}^2 - rR_{\oplus} - rR_{\oplus}\frac{R_{\oplus}}{r} = r^2 - rR_{\oplus}.

Как бы ни был расположен спутник в момент минимального сближения, стороны треугольника спутник — центр Земли — наблюдатель равны $R_{\oplus}$ , $r$ и $d_{\min}$ . Угол при наблюдателе в нём равен $180^{\circ} - z$ , где $z$ — зенитное расстояние спутника. Запишем теорему косинусов для этого треугольника:

r^2 = R_{\oplus}^2 + d_{\min}^2 - 2R_{\oplus}d_{\min}\cos(180^{\circ} - z)

Чертёж: окружность Земли (подпись «Земля») с центром, радиус R⊕ вертикально вверх к точке «Наблюдатель», над наблюдателем продолжение вертикали (направление в зенит); отрезки от наблюдателя и от центра Земли (r) к точке «Спутник»; угол z между вертикалью и направлением на спутник.

Учитывая, что высота $h = 90^{\circ} - z$ , получаем

\sin h = \cos z = \frac{r^2 - R_{\oplus}^2 - d^2}{2R_{\oplus}d} = \frac{rR_{\oplus} - R_{\oplus}^2}{2R_{\oplus}\sqrt{r^2 - rR_{\oplus}}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{r - R_{\oplus}}{r}}

Подставим числа

\sin h = \frac{1}{2}\sqrt{1 - \frac{R_{\oplus}}{r}} = 0.46 \quad \Rightarrow \quad h \approx 27^{\circ}.

Критерии проверки

Определение радиуса орбиты спутника: формула + значение 1 + 1 балл
Минимальное расстояние до спутника 4 балла
Максимальная высота спутника 2 балла

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(А. В. Ребриков)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца	$L_{\odot} = 3.827 \cdot 10^{26}\ \text{Вт}$
Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца	$M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot} = 5800\ \mathrm{K}$
Солнечная постоянная	$E_{\odot} = 1360.8\ \text{Вт}\,\text{м}^{-2}$
Поток солнечной энергии в видимых лучах на расстоянии Земли	$= 600\ \text{Вт}\,\text{м}^{-2}$
Тропический год	$= 365.24219$ сут
Звёздные сутки	$= 23$ ч $56$ мин $04$ с
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц	$S_{☾} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны	$m_{☾} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике	$= 10 \cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики	$= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)	$= 2 \cdot 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная	$G = 6.674 \cdot 10^{-11}\ \text{м}^3\,\text{кг}^{-1}\,\text{с}^{-2}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998 \cdot 10^{8}\ \text{м}\,\text{с}^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}\ \text{кг}\,\text{с}^{-3}\,\mathrm{K}^{-4}$
Постоянная Планка	$\mathrm{h} = 6.626 \cdot 10^{-34}\ \text{Дж}\,\text{с}$
Масса протона	$m_{\mathrm{p}} = 1.67 \cdot 10^{-27}\ \text{кг}$
Астрономическая единица	$1\ \text{а. е.} = 1.496 \cdot 10^{11}\ \text{м}$
Парсек	$1\ \text{пк} = 3.086 \cdot 10^{16}\ \text{м}$
Время накопления сигнала глазом	$= 0.05\ \text{с}$

Формулы приближённого вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \operatorname{tg} x \approx x

\ln(1 + x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1 + x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989 \times 10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302 \times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869 \times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974 \times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348 \times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419 \times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899 \times 10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685 \times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683 \times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024 \times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2025_teor_11_exam.pdf · официални решения: mos_astro_2025_teor_11_ans.pdf