Съдържание

МАО 2025, Теория, 11. клас — Задача 7

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2025

LXXIX Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2025 г. 11 класс · 12 т.

Требования к решению

В решении для всех вычислений должна быть представлена формула, где искомая величина записана как явная функция известных величин, записаны подставляемые значения и только потом ответ. Если численные значения получаются из рисунков/графиков, должно быть показано, что именно измерялось.

Условие

Один юный астроном решил построить себе спектрограф. Он достал стеклянную призму с углом при вершине $60^{\circ}$ , две линзы для камеры и коллиматора с фокусным расстоянием 20 см и диаметром 3 см и «небольшой» телескоп с диаметром объектива 50 см и относительным отверстием $f/8$ . Считая ширину щели равной атмосферному размеру изображения звезды ( $1''$ ), оцените максимальное и минимальное относительное спектральное разрешение этого спектрографа в оптическом диапазоне спектра (от 4000 до 9000 ангстрем). Дифракцией на всех элементах оптической системы пренебречь. На рисунке представлена зависимость угла отклонения луча света в призме от длины волны.

График на сетке: по горизонтали «Длина волны, Ангстрем» от 4000 до 10000, по вертикали «Угол отклонения луча в призме, градусы» с метками 75, 80, 85; синяя убывающая кривая от примерно 88° при 3650 Å до примерно 71.7° при 9800 Å, круто падающая в синей части спектра и пологая в красной. — К задаче 7

Отговори

Решение

Решение. Рассмотрим принципиальную схему призменного спектрографа. Источник света освещает щель спектрографа. За спектрографом установлена линза коллиматора таким образом, чтобы щель находилась в фокусе линзы. Тогда коллиматор создаёт параллельный пучок света, который падает на призму. После прохождения призмы свет попадает на линзу камеры, которая строит изображение в своей фокальной плоскости. Поскольку отклонение луча в призме зависит от длины волны, изображение щели, построенное камерой, оказывается растянутым.

Щель спектрографа устанавливается в фокальной плоскости телескопа. Фокусное расстояние телескопа $F$ можно определить, зная диаметр объектива и относительное отверстие: $F = 50\ \text{см} \cdot 8 = 400\ \text{см}$ . Если диск дрожания звезды имеет угловой размер $1''$ , то диаметр изображения такой звезды, построенное телескопом, будет равен

Схема призменного спектрографа: «Источник» (звёздочка), «Щель», «Коллиматорный объектив» (линза) на расстоянии F1 от щели, «Призма» (треугольник), «Камерный объектив» (линза), за которым на расстоянии F2 фокальная плоскость с изображениями λ1 и λ2.

b = 2F\operatorname{tg}\frac{1''}{2} \approx \frac{F}{206265} \approx 19.4\ \text{мкм}.

Здесь мы воспользовались известным свойством: тангенс малого угла приблизительно равен самому этому углу, выраженному в радианах, а 206 265 — число секунд в радианах. По условию этой же величине равен линейный размер щели.

Так как мы пренебрегаем дифракцией, разрешение спектрографа будет ограничиваться угловым расхождением каждого монохроматического пучка после прохождения линзы коллиматора $\theta$ , которое равно угловому размеру щели, видимому из центра этой линзы:

\theta = \frac{b}{F_{col}} = \frac{19.4\ \text{мкм}}{20\ \text{см}} = 9.7 \cdot 10^{-5}\ \text{рад} \approx 20''.

Теперь нам нужно узнать, какому диапазону длин волн соответствует угловое разделение в $20''$ . Для этого по графику, данному в условии, определим места, где малому изменению длины волны соответствует максимальное и минимальное изменения угла отклонения. Иначе говоря, нам необходимо определить максимальное и минимальное значение производной заданной графически функции. Сделать это можно разными способами, например, просто проведя касательную по линейке. Видим, что наибольшая дисперсия будет на минимальной длине волны, а наименьшая — на максимальной. Оценим эти дисперсии:

\begin{aligned} D_{4000} &= 35.7''/\text{\AA} \\ D_{9000} &= 1.9''/\text{\AA} \end{aligned}

Тот же график угла отклонения луча в призме (градусы) от длины волны (Ангстрем) с построениями: вертикальные пунктиры на 4000 и 9000 Å, касательные к кривой в этих точках и горизонтальные линии для измерения углов наклона касательных.

Таким образом, разность углов отклонения $\theta$ образуется на интервале длин волн $\Delta\lambda$ , которое можно назвать абсолютным разрешением на данной длине волны: $\theta = D\Delta\lambda$ . Тогда

\begin{aligned} \Delta\lambda_{4000} &= \frac{\theta}{D_{4000}} = \frac{20''}{35.7''/\text{\AA}} \approx 0.56\text{\AA} \\ \Delta\lambda_{9000} &= \frac{\theta}{D_{9000}} = \frac{20''}{1.9''/\text{\AA}} \approx 10.5\text{\AA} \end{aligned}

Наконец, мы можем посчитать относительное разрешение спектрографа:

\begin{aligned} R_{4000} &= \frac{\lambda}{\Delta\lambda_{4000}} = \frac{4000\ \text{\AA}}{0.56\ \text{\AA}} \approx 7000 \\ R_{9000} &= \frac{\lambda}{\Delta\lambda_{9000}} = \frac{9000\ \text{\AA}}{10.5\ \text{\AA}} \approx 1000 \end{aligned}

Критерии проверки

Фокусное расстояние телескопа 1 балл
Ширина щели 1 балл
Расхождение пучка после коллиматора 1 балл
Дисперсия для двух частот: метод + два значения 3 балла
Абсолютное разрешение для двух частот: формула + два значения 3 балла
Относительное разрешение для двух частот: формула + два значения 3 балла

Максимальная оценка за задачу 12 баллов.

(С. Г. Желтоухов)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца	$L_{\odot} = 3.827 \cdot 10^{26}\ \text{Вт}$
Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца	$M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot} = 5800\ \mathrm{K}$
Солнечная постоянная	$E_{\odot} = 1360.8\ \text{Вт}\,\text{м}^{-2}$
Поток солнечной энергии в видимых лучах на расстоянии Земли	$= 600\ \text{Вт}\,\text{м}^{-2}$
Тропический год	$= 365.24219$ сут
Звёздные сутки	$= 23$ ч $56$ мин $04$ с
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц	$S_{☾} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны	$m_{☾} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике	$= 10 \cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики	$= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)	$= 2 \cdot 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная	$G = 6.674 \cdot 10^{-11}\ \text{м}^3\,\text{кг}^{-1}\,\text{с}^{-2}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998 \cdot 10^{8}\ \text{м}\,\text{с}^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}\ \text{кг}\,\text{с}^{-3}\,\mathrm{K}^{-4}$
Постоянная Планка	$\mathrm{h} = 6.626 \cdot 10^{-34}\ \text{Дж}\,\text{с}$
Масса протона	$m_{\mathrm{p}} = 1.67 \cdot 10^{-27}\ \text{кг}$
Астрономическая единица	$1\ \text{а. е.} = 1.496 \cdot 10^{11}\ \text{м}$
Парсек	$1\ \text{пк} = 3.086 \cdot 10^{16}\ \text{м}$
Время накопления сигнала глазом	$= 0.05\ \text{с}$

Формулы приближённого вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \operatorname{tg} x \approx x

\ln(1 + x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1 + x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989 \times 10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302 \times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869 \times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974 \times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348 \times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419 \times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899 \times 10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685 \times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683 \times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024 \times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2025_teor_11_exam.pdf · официални решения: mos_astro_2025_teor_11_ans.pdf