Съдържание

МАО 2025, Теория, 11. клас — Задача 8

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2025

LXXIX Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2025 г. 11 класс · 12 т.

Требования к решению

В решении для всех вычислений должна быть представлена формула, где искомая величина записана как явная функция известных величин, записаны подставляемые значения и только потом ответ. Если численные значения получаются из рисунков/графиков, должно быть показано, что именно измерялось.

Условие

Подобно тому как звезды мерцают из-за рассеивания света на неоднородностях земной атмосферы, пульсары мерцают вследствие рассеивания радиоизлучения неоднородностями межзвёздной среды. Одна из простейших моделей мерцаний — рассеивание на тонком экране. Пусть $D$ — расстояние от наблюдателя до пульсара. Расстояние от пульсара до экрана обозначим $sD$ , а от экрана до наблюдателя — $(1 - s)D$ , $0 < s < 1$ .

Вследствие рассеивания к наблюдателю попадают не только лучи, идущие прямо, но и некоторые лучи, рассеявшиеся на экране, образуя в плоскости наблюдателя сложное распределение областей пониженной и повышенной интенсивности излучения (картина мерцаний). Пульсар быстро движется относительно наблюдателя и экрана, в результате чего излучение проходит через разные части экрана, картина мерцаний движется, а телескоп фиксирует изменение интенсивности с частотой $f$ .

На рисунке на стр. 5 показаны зависимости задержки сигнала $\tau$ , вызванной рассеянием, от частоты $f$ для пульсара B1919+10 на четырёх наблюдательных частотах. Аналитическая формула этой зависимости имеет вид

\tau = \eta f^2, \quad \eta = 5.15 \cdot 10^5 \frac{Ds(1 - s)}{V_{\mathrm{eff}}^2}\lambda^{\alpha},

где $D$ измеряется в килопарсеках, $\lambda$ — длина волны наблюдения в метрах, $V_{\mathrm{eff}}$ — скорость экрана относительно отрезка наблюдатель — пульсар в км/с.

Четыре расположенные друг над другом панели (1100 МГц, 1200 МГц, 1300 МГц, 1400 МГц) вторичного спектра пульсара: по горизонтали f, мГц от −40 до 40, по вертикали τ, мкс от 0 до 3; в каждой панели тёмная вертикальная полоса при f = 0 и тёмная парабола (дуга) с вершиной в начале координат, ветви которой расходятся вверх; с ростом частоты наблюдения парабола становится шире. — К задаче 8

1. С помощью рисунка определите величину $\alpha$ .

2. Найдите зависимость скорости $V_{\mathrm{eff}}$ от тангенциальной скорости пульсара $V_{\mathrm{p}}$ .

3. Определите угловой и линейный размер рассеянного изображения пульсара.

Считайте, что за пределами графиков полезного сигнала нет. Для исследуемого пульсара $D = 0.36$ кпк, $V_{\mathrm{p}} = 177$ км/с. Движением наблюдателя и экрана пренебречь.

Отговори

Решение

Решение. Для ответа на первый вопрос нам не требуется знать значение множителя при $\lambda^{\alpha}$ в формуле для $\eta$ . Обозначим его как $C$ и прологарифмируем это выражение:

\lg\eta = \lg(C\lambda^{\alpha}) = \alpha\lg\lambda + \lg C.

Зависимость между $\lg\eta$ и $\lg\lambda$ получилась линейной, а искомый параметр $\alpha$ в ней — коэффициент наклона. Длина волны связана с частотой наблюдения $\nu$ как $\lambda = c/\nu$ , где $c$ — скорость света. Частотам 1100 МГц, 1200 МГц, 1300 МГц, 1400 МГц соответствуют длины волн 27 см, 25 см, 23 см, 21 см. Для того чтобы определить $\eta$ , выберем на каждой параболе на рисунке несколько точек, для каждой определим пары $(f_i, \tau_i)$ , вычислим значения $\eta_i = \tau_i/d_i^2$ и усредним результаты для каждой частоты. Результаты сведём в таблицу:

$\lambda$ , см	$\lg\lambda$	$\eta$ , с $^3$	$\lg\eta$
21	1.32	0.017	$-1.77$
23	1.36	0.021	$-1.68$
25	1.40	0.024	$-1.62$
27	1.43	0.028	$-1.55$

Нанесём эти данные на график и проведём прямую по точкам. Получаем, что угол наклона равен около $63^{\circ}$ , а искомый коэффициент $\alpha = \operatorname{tg}(63^{\circ}) \approx 2$ .

График зависимости lg η от lg λ: по горизонтали lg λ от 1.28 до 1.48, по вертикали lg η от −1.75 до −1.55; четыре синие точки и проведённая через них зелёная прямая.

Пусть наблюдатель находится в точке $O$ , экран — в точке $S$ , а пульсар — в точке $P$ . Скорость пульсара $V_{\mathrm{p}}$ и эффективная скорость $V_{\mathrm{eff}}$ перпендикулярны направлению $OP$ .

Чертёж подобных треугольников: горизонтальный отрезок O–S–P, участки подписаны (1−s)D и sD; вертикальные стрелки V_eff в точке S и V_p в точке P; наклонная прямая из O через концы стрелок.

Тогда из подобия треугольников получаем пропорцию

\frac{V_{\mathrm{p}}}{V_{\mathrm{eff}}} = \frac{D}{(1 - s)D} \quad \Rightarrow \quad V_{\mathrm{eff}} = (1 - s)V_{\mathrm{p}}.

Задержка сигнала в результате рассеивания возникает в связи с разной длиной пути рассеянного и нерассеянного сигналов. Пусть $l_1$ — расстояние, которое проходит излучение пульсара до экрана, $l_2$ — расстояние, пройденное от экрана до наблюдателя, а $h$ — расстояние между рассеянным и нерассеянным лучами в плоскости экрана.

Схема рассеяния на тонком экране: наблюдатель O (радиотелескоп), экран S (вертикальная линия), пульсар P со скоростью Vp; сверху размерные стрелки (1−s)D, sD и D; луч l1 от P к точке экрана на высоте h и луч l2 от этой точки к O под углом θ.

Угол $\theta$ , под которым наблюдатель видит рассеянное изображение пульсара, крайне мал, поэтому дальше будем использовать формулы приближенных вычислений: $\operatorname{tg}\theta \approx \theta$ , $\cos\theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}$ и $(1 + \theta)^n \approx 1 + n\theta$ .

Сначала определим $l_2$ :

l_2 = \frac{(1 - s)D}{\cos\theta} \approx \frac{(1 - s)D}{1 - \frac{\theta^2}{2}} \approx (1 - s)D\left(1 + \frac{\theta^2}{2}\right).

Расстояние $h$ можно выразить как

h = (1 - s)D\operatorname{tg}\theta \approx (1 - s)D\theta.

Тогда $l_1$ можно получить из теоремы Пифагора:

l_1 = \sqrt{h^2 + s^2D^2} = sD\left(1 + \frac{h^2}{s^2D^2}\right)^{\frac{1}{2}} \approx sD\left(1 + \frac{(1 - s)^2D^2\theta^2}{2s^2D^2}\right) = sD\left(1 + \frac{(1 - s)^2}{s^2}\frac{\theta^2}{2}\right).

Расстояние, пройденное импульсом пульсара, равно

l_1 + l_2 = (1 - s)D + (1 - s)D\frac{\theta^2}{2} + sD + \frac{(1 - s)^2}{s}\frac{\theta^2}{2}D = D + \frac{1 - s}{s}\frac{\theta^2}{2}D.

Здесь $D$ — расстояние, пройденное нерассеянным импульсом, поэтому задержка составляет

\tau = \frac{l_1 + l_2 - D}{c} = \frac{(1 - s)}{s}\frac{\theta^2}{2c}D.

Значение $s$ можно определить с помощью измеренных значений $\eta$ . Перепишем формулу из условия в более удобном виде, приняв во внимание полученное соотношение между $V_{\mathrm{p}}$ и $V_{\mathrm{eff}}$ :

\begin{gathered} \eta = 5.15 \cdot 10^5\frac{Ds(1 - s)}{(1 - s)^2V_{\mathrm{p}}^2}\lambda^2 = 5.15 \cdot 10^5\frac{Ds(1 - s)}{(1 - s)^2V_{\mathrm{p}}^2}\lambda^2 = 5.15 \cdot 10^5\frac{D\lambda^2}{V_{\mathrm{p}}^2}\frac{s}{1 - s} \\ \frac{1}{s} - 1 = 5.15 \cdot 10^5\frac{D\lambda^2}{\eta V_{\mathrm{p}}^2} \\ s = \left(\frac{5.15 \cdot 10^5 D\lambda^2}{\eta V_p^2} + 1\right)^{-1}. \end{gathered}

Вычислим $s$ для каждой длины волны, а результаты занесём в таблицу:

$\lambda$ , м	$\eta$ , с $^3$	s
0.21	0.017	0.059
0.23	0.021	0.062
0.25	0.024	0.061
0.27	0.028	0.060

Усреднив значение $s$ , получим $s \approx 0.06$ . Максимальные задержки на графике равны 4.2 мкс. Тогда угловой размер изображения пульсара равен

2\theta = 2\sqrt{\frac{s}{1 - s}\frac{2c\tau}{D}} = 2\sqrt{\frac{0.06}{(1 - 0.06)}\frac{2 \cdot 3 \cdot 10^5 \cdot 4.2 \cdot 10^{-6}}{0.36 \cdot 3.1 \cdot 10^{16}}} \approx 7.6 \cdot 10^{-9}\ \text{рад} \approx 1.6 \cdot 10^{-3}{}''.

Этому углу соответствует линейный размер в области экрана

2h = (1 - s)D \cdot 2\theta = (1 - 0.06) \cdot 360\ \text{пк} \cdot 7.6 \cdot 10^{-9}\ \text{рад} \approx 2.6 \cdot 10^{-6}\ \text{пк} \approx 0.5\ \text{а. е.}

Критерии проверки

Определение $\alpha$ 4 балла

Получено значение в пределах 1.8–2.2 — полный балл, 1.5–2.5 — не более 3 баллов.

Если значения $\eta$ получены по одному измерению на график, оценка снижается на 1 балл.

Определение зависимости $V_{\mathrm{eff}}(V_{\mathrm{p}})$ 1 балл
Формула для задержки сигнала 2 балла
Определение $s$ 2 балла

Если значение получено по одному измерению, то 1 балл.

Определение $\theta$ 1 балл
Определение линейного размера 2 балла

Максимальная оценка за задачу 12 баллов.

(Е. Н. Фадеев)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца	$L_{\odot} = 3.827 \cdot 10^{26}\ \text{Вт}$
Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца	$M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot} = 5800\ \mathrm{K}$
Солнечная постоянная	$E_{\odot} = 1360.8\ \text{Вт}\,\text{м}^{-2}$
Поток солнечной энергии в видимых лучах на расстоянии Земли	$= 600\ \text{Вт}\,\text{м}^{-2}$
Тропический год	$= 365.24219$ сут
Звёздные сутки	$= 23$ ч $56$ мин $04$ с
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц	$S_{☾} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны	$m_{☾} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике	$= 10 \cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики	$= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)	$= 2 \cdot 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная	$G = 6.674 \cdot 10^{-11}\ \text{м}^3\,\text{кг}^{-1}\,\text{с}^{-2}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998 \cdot 10^{8}\ \text{м}\,\text{с}^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}\ \text{кг}\,\text{с}^{-3}\,\mathrm{K}^{-4}$
Постоянная Планка	$\mathrm{h} = 6.626 \cdot 10^{-34}\ \text{Дж}\,\text{с}$
Масса протона	$m_{\mathrm{p}} = 1.67 \cdot 10^{-27}\ \text{кг}$
Астрономическая единица	$1\ \text{а. е.} = 1.496 \cdot 10^{11}\ \text{м}$
Парсек	$1\ \text{пк} = 3.086 \cdot 10^{16}\ \text{м}$
Время накопления сигнала глазом	$= 0.05\ \text{с}$

Формулы приближённого вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \operatorname{tg} x \approx x

\ln(1 + x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1 + x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989 \times 10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302 \times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869 \times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974 \times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348 \times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419 \times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899 \times 10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685 \times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683 \times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024 \times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2025_teor_11_exam.pdf · официални решения: mos_astro_2025_teor_11_ans.pdf