Съдържание

МАО 2025, Теория, 7. клас — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2025

LXXIX Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2025 г. 7 класс · 8 т.

Указания к решению

В решении для всех вычислений должна быть представлена формула, где искомая величина записана в явном «буквенном» виде, записаны подставляемые значения и только потом ответ. Если численные значения получаются из рисунков/графиков, должно быть показано, что именно измерялось.

Бланк ответа

номер работы

Сдайте этот лист вместе с работой!

Условие

Система Плутон–Харон является синхронизированной, то есть периоды обращения Плутона и Харона вокруг оси одинаковы и равны периоду обращения Харона вокруг Плутона. Угловой размер Харона вблизи горизонта превосходит угловой размер Луны на Земле в 6.8 раза. Предположим, что эта система заселена высокоразвитой цивилизацией, которая построила канатную дорогу между ближайшими точками карликовой планеты и её спутника. Фуникулёры движутся с постоянной скоростью 150 км/ч. Вычислите время путешествия в одну сторону. Ответ выразите в сутках.

Считайте, что орбита Харона круговая. Диаметр Харона $D_{\text{Х}} = 1212$ км, радиус Плутона $R_{\text{П}} = 1188$ км.

Отговори

Решение

Решение. Угловой размер тела $\rho$ связан с его линейным размером $l$ и расстоянием до него $L$ простым соотношением, справедливым при малых значениях $\rho$ , заданных в радианах: $\rho = \frac{l}{L}$ . Из справочных данных известны радиусы Луны $l_{\text{☾}}$ и её орбиты $L_{\text{☾}}$ . Сравнивая угловые размеры Плутона и Луны получим расстояние между центрами Плутона и Харона:

6.8\rho_{\text{☾}} = \rho_{\text{Х}} \quad\Rightarrow\quad 6.8\frac{l_{\text{☾}}}{L_{\text{☾}}} = \frac{D_{\text{Х}}/2}{L_{\text{Х}}} \quad\Rightarrow\quad L_{\text{Х}} = \frac{L_{\text{☾}}}{l_{\text{☾}}}\frac{D_{\text{Х}}}{2 \cdot 6.8} \approx 19\,700\ \text{км}.

Схема системы Плутон–Харон: слева большой круг «Плутон» с отмеченным радиусом R_П, справа меньший круг «Харон» с радиусом R_Х; между ближайшими точками натянута горизонтальная канатная дорога с четырьмя кабинками; из точки на поверхности Плутона к краям Харона проведены лучи, отмечены угол ρ и отрезок l.

Канатная дорога короче этого расстояния на сумму радиусов Плутона и Харона:

x = L_{\text{Х}} - D_{\text{Х}}/2 - R_{\text{П}} \approx 17\,900\ \text{км}.

Тогда время путешествия по канатной дороге составит

t = \frac{x}{v} = \frac{17\,900\ \text{км}}{150\ \text{км/ч}} \approx 119\ \text{часов} \approx 5\ \text{суток}.

Критерии проверки

Формула для связи углового и линейного размера 1 балл
Вычисление расстояния между центрами Плутона и Харона 2 балла
Канатная дорога короче на $R_{\text{П}} + R_{\text{Х}}$ 2 балла
Вычисление времени путешествия в сутках: формула + ответ 1 + 2 балла

Ответ не в сутках — штраф 1 балл.

Если не выполнен критерий 3 — штраф 1 балл при правильном ответе.

При неправильной длине канатной дороги ответ не оценивается.

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(А. А. Автаева)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца: $L_{\odot} = 3.827 \cdot 10^{26}$ Вт
Видимая звёздная величина Солнца: $m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца: $M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца: $T_{\odot} = 5800$ К
Солнечная постоянная: $E_{\odot} = 1360.8$ Вт м $^{-2}$
Тропический год: $= 365.24219$ сут
Звёздные сутки: $T_{\text{☾}} = 23$ ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике: $\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Средняя плотность Земли: $\rho_{\oplus} = 5515$ кг/м $^3$
Синодический месяц: $S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны: $m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике: $= 10 \cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики: $= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца): $= 2 \cdot 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная: $G = 6.674 \cdot 10^{-11}$ м $^3$ кг $^{-1}$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме: $c = 2.998 \cdot 10^{8}$ м с $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана: $\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}$ кг с $^{-3}$ К $^{-4}$
Масса протона: $m_{\mathrm{p}} = 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг
Астрономическая единица: 1 а. е. $= 1.496 \cdot 10^{11}$ м
Парсек: 1 пк $= 3.086 \cdot 10^{16}$ м

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989\times10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302\times10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869\times10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974\times10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348\times10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419\times10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899\times10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685\times10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683\times10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024\times10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2025_teor_7_exam.pdf · официални решения: mos_astro_2025_teor_7_ans.pdf