Съдържание

МАО 2025, Теория, 8. клас — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2025

LXXIX Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2025 г. 8 класс · 8 т.

Требования к решению

В решении для всех вычислений должна быть представлена формула, где искомая величина записана в явном «буквенном» виде, записаны подставляемые значения и только потом ответ. Если численные значения получаются из рисунков/графиков, должно быть показано, что именно измерялось.

Условие

Инопланетяне решили построить гигантский космический корабль-пылесос, чтобы прибраться в Галактике. Пылесос имеет форму цилиндра, летящего торцевой стороной вперёд. Длина пылесоса равна 300 м, а площадь основания — 8000 м $^2$ . Пылесос движется сквозь газо-пылевое облако со скоростью 0.01 скорости света и собирает только пылинки. Определите:

1. массу вещества, которую он соберёт, один раз пройдя облако по диаметру, [3 т.]

2. время, за которое пылесос полностью заполнится, [3 т.]

3. долю массы, которую составит пыль в этом облаке после уборки. [2 т.]

Масса облака — $5 \cdot 10^4$ масс Солнца, а диаметр 3 пк. Масса пыли составляет 1% массы облака. Диаметр пылинки — 1 мкм, плотность — 1 г/см $^3$ . Считать распределение вещества в облаке равномерным.

Отговори

Решение

Решение. Проходя облако по диаметру корабль-пылесос соберёт пыль из цилиндра с площадью основания $s = 8000$ м $^2$ и высотой $D = 3$ пк $\approx 9.3 \cdot 10^{16}$ м. Объём всего облака равен

V = \frac{4}{3}\pi\left(\frac{D}{2}\right)^3 = \frac{\pi}{6}D^3 \approx 4.15 \cdot 10^{50}\ \text{м}^3.

Эта величина больше объема, обработанного кораблём, в $\frac{V}{sD} \approx 5.6 \cdot 10^{29}$ раза. Значит, в пылесос попала масса пыли, равная

m = \frac{0.01M}{\frac{V}{sD}} \approx \frac{0.01 \cdot 5 \cdot 10^4 \cdot 2 \cdot 10^{30}}{5.6 \cdot 10^{29}} \approx 1800\ \text{кг}.

Объём корабля равен $V_{\text{к}} = sl = 8000 \cdot 300 = 2.4 \cdot 10^6$ м $^3$ , а значит, он может вместить $M = V_{\text{к}} \cdot \rho_{\text{п}} = 2.4 \cdot 10^6$ м $^3 \cdot 1000$ кг/м $^3 = 2.4 \cdot 10^9$ кг. Скорость света равна $c = 300\,000$ км/с. Двигаясь со скоростью $0.01c$ корабль преодолевает 3000 км за секунду, а парсек пролетает за $3.1 \cdot 10^{13}/3000 \approx 1 \cdot 10^{10}$ с $\approx 327$ лет. Проходя один парсек, он собирает $m/3 = 600$ кг пыли. Значит, полностью он заполнится за

t = \frac{2.4 \cdot 10^9}{600} \cdot 327 \approx 1.3 \cdot 10^9\ \text{лет}.

Полная масса пыли в облаке $0.01 \cdot 5 \cdot 10^4 \cdot 2 \cdot 10^{30}$ кг $= 10^{33}$ кг. Пылесос собрал ничтожную по сравнению с этой массу. Можно сделать вывод, что масса пыли как была, так и осталась 1% от массы газа, а уборка закончилась полным провалом.

Критерии проверки

Масса собранная после прохода по диаметру 3 балла
Время заполнения пылесоса 3 балла
Изменение массовой доли пыли ничтожно 2 балла

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(В. Б. Игнатьев, Е. Н. Фадеев)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца $\quad L_{\odot} = 3.827 \cdot 10^{26}$ Вт
Видимая звёздная величина Солнца $\quad m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца $\quad M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца $\quad T_{\odot} = 5800$ K
Солнечная постоянная $\quad E_{\odot} = 1360.8$ Вт м $^{-2}$
Тропический год $\quad = 365.24219$ сут
Звёздные сутки $\quad T_{\text{☾}} = 23$ ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике $\quad \varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Средняя плотность Земли $\quad \rho_{\oplus} = 5515$ кг/м $^3$
Синодический месяц $\quad S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны $\quad m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике $\quad = 10 \cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики $\quad = 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца) $\quad = 2 \cdot 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная $\quad G = 6.674 \cdot 10^{-11}$ м $^3$ кг $^{-1}$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме $\quad c = 2.998 \cdot 10^{8}$ м с $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана $\quad \sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}$ кг с $^{-3}$ K $^{-4}$
Масса протона $\quad m_{\mathrm{p}} = 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг
Астрономическая единица $\quad 1$ а. е. $= 1.496 \cdot 10^{11}$ м
Парсек $\quad 1$ пк $= 3.086 \cdot 10^{16}$ м

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989\times10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302\times10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869\times10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974\times10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348\times10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419\times10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899\times10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685\times10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683\times10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024\times10^{26}$	24.7	16.11 ч

Справочные данные (в решениях)

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца $\quad L_{\odot} = 3.827 \cdot 10^{26}$ Вт
Видимая звёздная величина Солнца $\quad m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца $\quad M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца $\quad T_{\odot} = 5800$ K
Солнечная постоянная $\quad E_{\odot} = 1360.8$ Вт м $^{-2}$
Поток солнечной энергии в видимых лучах на расстоянии Земли $\quad = 600$ Вт м $^{-2}$
Тропический год $\quad = 365.24219$ сут
Звёздные сутки $\quad = 23$ ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике $\quad \varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц $\quad S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны $\quad m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике $\quad = 10 \cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики $\quad = 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца) $\quad = 2 \cdot 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная $\quad G = 6.674 \cdot 10^{-11}$ м $^3$ кг $^{-1}$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме $\quad c = 2.998 \cdot 10^{8}$ м с $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана $\quad \sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}$ кг с $^{-3}$ K $^{-4}$
Постоянная Планка $\quad \mathrm{h} = 6.626 \cdot 10^{-34}$ Дж с
Масса протона $\quad m_{\mathrm{p}} = 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг
Астрономическая единица $\quad 1$ а. е. $= 1.496 \cdot 10^{11}$ м
Парсек $\quad 1$ пк $= 3.086 \cdot 10^{16}$ м
Время накопления сигнала глазом $\quad = 0.05$ с

Формулы приближённого вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \mathrm{tg}\, x \approx x

\ln(1+x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989\times10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302\times10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869\times10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974\times10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348\times10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419\times10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899\times10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685\times10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683\times10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024\times10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2025_teor_8_exam.pdf · официални решения: mos_astro_2025_teor_8_ans.pdf