МАО 2025, Теория, 8. клас — Задача 3

LXXIX Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2025 г. 8 класс · 8 т.

Требования к решению

В решении для всех вычислений должна быть представлена формула, где искомая величина записана в явном «буквенном» виде, записаны подставляемые значения и только потом ответ. Если численные значения получаются из рисунков/графиков, должно быть показано, что именно измерялось.

Условие

Жак Кассини обнаружил в 1721 году, что плоскость лунного экватора составляет с плоскостью лунной орбиты угол 6∘39′6^{\circ}39', а с плоскостью эклиптики — 1∘30′1^{\circ}30', причём плоскость эклиптики лежит между плоскостями лунного экватора и орбиты Луны и все три плоскости пересекаются по одной прямой. На какой высоте над лунным горизонтом для наблюдателя на Северном полюсе Луны может находиться верхний край Земли во время центрального полного лунного затмения? Орбиту Луны считать круговой.

Отговори

Решение

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

  • Светимость Солнца L⊙=3.827⋅1026\quad L_{\odot} = 3.827 \cdot 10^{26} Вт
  • Видимая звёздная величина Солнца m⊙=−26.78m\quad m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}
  • Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца M⊙=4.72m\quad M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}
  • Эффективная температура Солнца T⊙=5800\quad T_{\odot} = 5800 K
  • Солнечная постоянная E⊙=1360.8\quad E_{\odot} = 1360.8 Вт м−2^{-2}
  • Тропический год =365.24219\quad = 365.24219 сут
  • Звёздные сутки T☾=23\quad T_{\text{☾}} = 23 ч 56 мин 04 с
  • Наклон экватора к эклиптике ε=23∘26′21.45′′\quad \varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''
  • Средняя плотность Земли ρ⊕=5515\quad \rho_{\oplus} = 5515 кг/м3^3
  • Синодический месяц S☾=29.530 59\quad S_{\text{☾}} = 29.530\,59 сут
  • Видимая звёздная величина полной Луны m☾=−12.7m\quad m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}
  • Число звёзд в нашей Галактике =10⋅1011\quad = 10 \cdot 10^{11}
  • Радиус диска нашей Галактики =20\quad = 20 кпк
  • Масса нашей Галактики (в массах Солнца) =2⋅1012\quad = 2 \cdot 10^{12}

Астрономические и физические постоянные

  • Гравитационная постоянная G=6.674⋅10−11\quad G = 6.674 \cdot 10^{-11} м3^3 кг−1^{-1} с−2^{-2}
  • Скорость света в вакууме c=2.998⋅108\quad c = 2.998 \cdot 10^{8} м с−1^{-1}
  • Постоянная Стефана-Больцмана σ=5.67⋅10−8\quad \sigma = 5.67 \cdot 10^{-8} кг с−3^{-3} K−4^{-4}
  • Масса протона mp=1.67⋅10−27\quad m_{\mathrm{p}} = 1.67 \cdot 10^{-27} кг
  • Астрономическая единица 1\quad 1 а. е. =1.496⋅1011= 1.496 \cdot 10^{11} м
  • Парсек 1\quad 1 пк =3.086⋅1016= 3.086 \cdot 10^{16} м

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

ОбъектБольшая полуось, а.е.ЭксцентриситетОрбитальный периодМасса, кгРадиус, тыс. кмОсевой период
Солнце1.989×10301.989\times10^{30}69625.38 сут
Меркурий0.38710.205687.97 сут3.302×10233.302\times10^{23}2.4458.65 сут
Венера0.72330.0068224.70 сут4.869×10244.869\times10^{24}6.05243.02 сут
Земля10.0167365.26 сут5.974×10245.974\times10^{24}6.3723.93 ч
Луна0.002 570.054927.322 сут7.348×10227.348\times10^{22}1.7427.32 сут
Марс1.52370.0934686.98 сут6.419×10236.419\times10^{23}3.4024.62 ч
Юпитер5.20280.048311.862 лет1.899×10271.899\times10^{27}69.99.92 ч
Сатурн9.53880.056029.458 лет5.685×10265.685\times10^{26}60.310.66 ч
Уран19.19140.046184.01 лет8.683×10258.683\times10^{25}25.617.24 ч
Нептун30.06110.0097164.79 лет1.024×10261.024\times10^{26}24.716.11 ч
Справочные данные (в решениях)

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

  • Светимость Солнца L⊙=3.827⋅1026\quad L_{\odot} = 3.827 \cdot 10^{26} Вт
  • Видимая звёздная величина Солнца m⊙=−26.78m\quad m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}
  • Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца M⊙=4.72m\quad M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}
  • Эффективная температура Солнца T⊙=5800\quad T_{\odot} = 5800 K
  • Солнечная постоянная E⊙=1360.8\quad E_{\odot} = 1360.8 Вт м−2^{-2}
  • Поток солнечной энергии в видимых лучах на расстоянии Земли =600\quad = 600 Вт м−2^{-2}
  • Тропический год =365.24219\quad = 365.24219 сут
  • Звёздные сутки =23\quad = 23 ч 56 мин 04 с
  • Наклон экватора к эклиптике ε=23∘26′21.45′′\quad \varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''
  • Синодический месяц S☾=29.530 59\quad S_{\text{☾}} = 29.530\,59 сут
  • Видимая звёздная величина полной Луны m☾=−12.7m\quad m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}
  • Число звёзд в нашей Галактике =10⋅1011\quad = 10 \cdot 10^{11}
  • Радиус диска нашей Галактики =20\quad = 20 кпк
  • Масса нашей Галактики (в массах Солнца) =2⋅1012\quad = 2 \cdot 10^{12}

Астрономические и физические постоянные

  • Гравитационная постоянная G=6.674⋅10−11\quad G = 6.674 \cdot 10^{-11} м3^3 кг−1^{-1} с−2^{-2}
  • Скорость света в вакууме c=2.998⋅108\quad c = 2.998 \cdot 10^{8} м с−1^{-1}
  • Постоянная Стефана-Больцмана σ=5.67⋅10−8\quad \sigma = 5.67 \cdot 10^{-8} кг с−3^{-3} K−4^{-4}
  • Постоянная Планка h=6.626⋅10−34\quad \mathrm{h} = 6.626 \cdot 10^{-34} Дж с
  • Масса протона mp=1.67⋅10−27\quad m_{\mathrm{p}} = 1.67 \cdot 10^{-27} кг
  • Астрономическая единица 1\quad 1 а. е. =1.496⋅1011= 1.496 \cdot 10^{11} м
  • Парсек 1\quad 1 пк =3.086⋅1016= 3.086 \cdot 10^{16} м
  • Время накопления сигнала глазом =0.05\quad = 0.05 с

Формулы приближённого вычисления (при x≪1x \ll 1)

sin⁡(x)≈xcos⁡x≈1−x22tg x≈x\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \mathrm{tg}\, x \approx x
ln⁡(1+x)≈xex≈1+x(1+x)α≈1+αx\ln(1+x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

ОбъектБольшая полуось, а.е.ЭксцентриситетОрбитальный периодМасса, кгРадиус, тыс. кмОсевой период
Солнце1.989×10301.989\times10^{30}69625.38 сут
Меркурий0.38710.205687.97 сут3.302×10233.302\times10^{23}2.4458.65 сут
Венера0.72330.0068224.70 сут4.869×10244.869\times10^{24}6.05243.02 сут
Земля10.0167365.26 сут5.974×10245.974\times10^{24}6.3723.93 ч
Луна0.002 570.054927.322 сут7.348×10227.348\times10^{22}1.7427.32 сут
Марс1.52370.0934686.98 сут6.419×10236.419\times10^{23}3.4024.62 ч
Юпитер5.20280.048311.862 лет1.899×10271.899\times10^{27}69.99.92 ч
Сатурн9.53880.056029.458 лет5.685×10265.685\times10^{26}60.310.66 ч
Уран19.19140.046184.01 лет8.683×10258.683\times10^{25}25.617.24 ч
Нептун30.06110.0097164.79 лет1.024×10261.024\times10^{26}24.716.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2025_teor_8_exam.pdf · официални решения: mos_astro_2025_teor_8_ans.pdf