Съдържание

МАО 2025, Теория, 8. клас — Задача 4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2025

LXXIX Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2025 г. 8 класс · 8 т.

Требования к решению

В решении для всех вычислений должна быть представлена формула, где искомая величина записана в явном «буквенном» виде, записаны подставляемые значения и только потом ответ. Если численные значения получаются из рисунков/графиков, должно быть показано, что именно измерялось.

Условие

У звезды TRAPPIST-1 открыта планетная система из 7 планет, вращающихся в одной плоскости в одну и ту же сторону. Отношение периода следующей планеты к периоду предыдущей можно записать как последовательность $\frac{8}{5}$ , $\frac{5}{3}$ , $\frac{3}{2}$ , $\frac{3}{2}$ , $\frac{4}{3}$ , $\frac{3}{2}$ , то есть период второй планеты составляет $\frac{8}{5}$ периода первой, период третьей — $\frac{5}{3}$ периода второй и т. д. Первая планета совершает один оборот вокруг звезды за 1.5 суток. Определите величину орбитального периода самой дальней планеты. Как часто планеты 2 и 4 оказываются на одной линии с центральной звездой? Ответы дайте в сутках.

Отговори

Решение

Решение. Пусть $T_1$ — орбитальный период первой, самой внутренней планеты. Тогда орбитальный период второй планеты равен $T_2 = \frac{8}{5}T_1$ . Орбитальный период третьей планеты равен $T_3 = \frac{5}{3}T_2 = \frac{5}{3} \cdot \frac{8}{5}T_1$ . Орбитальный период седьмой планеты будет равен

T_7 = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{8}{5} \cdot T_1 = \frac{24}{2}T_1 = 12T_1 = 18\ \text{суток}.

Выразим период четвёртой планеты в долях периода второй:

T_4 = \frac{3}{2}T_3 = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{3}T_2 = \frac{5}{2}T_2.

Предположим, что в некоторый момент времени звезда, планета 2 и планета 4 выстроились в линию в таком порядке. Когда такая конфигурация повторится в следующий раз, планета 2 сделает на один оборот по своей орбите больше, чем планета 4. Пусть $n$ — число оборотов, совершённых планетой 4. Заметим, что $n$ не обязательно целое. Тогда

nT_4 = (n+1)T_2.

Отсюда получаем

n = \frac{T_2}{T_4 - T_2} = \frac{T_2}{\frac{5}{2}T_2 - T_2} = \frac{2}{3}.

Значит, одинаковые конфигурации повторяются каждые $\frac{2}{3}$ оборота планеты 4 или $\frac{5}{3}$ оборота планеты 2.

К этому же ответу можно прийти, вспомнив, что интервал времени между одинаковыми конфигурациями планет называется синодическим периодом $S$ . Он связан с периодами обращения планет вокруг звезды как

\frac{1}{S} = \frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_4} = \frac{T_4 - T_2}{T_2T_4} = \frac{\frac{5}{2}T_2 - T_2}{\frac{5}{2}T_2^2} = \frac{3}{5T_2} \quad \Rightarrow \quad S = \frac{5}{2}T_2.

Осталось отметить, что в одну линию эти две планеты выстраиваются в два раза чаще, ведь, прежде чем они вернутся в исходное положение, они ещё раз выстроятся в линию, когда звезда окажется между планетами. Искомое время равно

t = \frac{n+1}{2}T_2 = \frac{n+1}{2} \cdot \frac{8}{5} \cdot T_1 = \frac{4}{3}T_1 = 2\ \text{сут}.

Критерии проверки

Правильный подход к вычислению $T_7$ 1 балл
Получение правильного числового значения $T_7$ 2 балла
Определение соотношения сидерических периодов планет 2 и 4 1 балл
Правильный способ определения синодического периода планет 2 и 4 1 балл
Правильное значение синодического периода 1 балл
Замечено, что нужно найти половину $S$ 1 балл
Получено правильное значение t 1 балл

Последний балл выставляется только при отсутствии ошибок и получении значения 2 сут.

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(М. В. Силантьев)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца $\quad L_{\odot} = 3.827 \cdot 10^{26}$ Вт
Видимая звёздная величина Солнца $\quad m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца $\quad M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца $\quad T_{\odot} = 5800$ K
Солнечная постоянная $\quad E_{\odot} = 1360.8$ Вт м $^{-2}$
Тропический год $\quad = 365.24219$ сут
Звёздные сутки $\quad T_{\text{☾}} = 23$ ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике $\quad \varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Средняя плотность Земли $\quad \rho_{\oplus} = 5515$ кг/м $^3$
Синодический месяц $\quad S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны $\quad m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике $\quad = 10 \cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики $\quad = 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца) $\quad = 2 \cdot 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная $\quad G = 6.674 \cdot 10^{-11}$ м $^3$ кг $^{-1}$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме $\quad c = 2.998 \cdot 10^{8}$ м с $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана $\quad \sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}$ кг с $^{-3}$ K $^{-4}$
Масса протона $\quad m_{\mathrm{p}} = 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг
Астрономическая единица $\quad 1$ а. е. $= 1.496 \cdot 10^{11}$ м
Парсек $\quad 1$ пк $= 3.086 \cdot 10^{16}$ м

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989\times10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302\times10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869\times10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974\times10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348\times10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419\times10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899\times10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685\times10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683\times10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024\times10^{26}$	24.7	16.11 ч

Справочные данные (в решениях)

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца $\quad L_{\odot} = 3.827 \cdot 10^{26}$ Вт
Видимая звёздная величина Солнца $\quad m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца $\quad M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца $\quad T_{\odot} = 5800$ K
Солнечная постоянная $\quad E_{\odot} = 1360.8$ Вт м $^{-2}$
Поток солнечной энергии в видимых лучах на расстоянии Земли $\quad = 600$ Вт м $^{-2}$
Тропический год $\quad = 365.24219$ сут
Звёздные сутки $\quad = 23$ ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике $\quad \varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц $\quad S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны $\quad m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике $\quad = 10 \cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики $\quad = 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца) $\quad = 2 \cdot 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная $\quad G = 6.674 \cdot 10^{-11}$ м $^3$ кг $^{-1}$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме $\quad c = 2.998 \cdot 10^{8}$ м с $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана $\quad \sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}$ кг с $^{-3}$ K $^{-4}$
Постоянная Планка $\quad \mathrm{h} = 6.626 \cdot 10^{-34}$ Дж с
Масса протона $\quad m_{\mathrm{p}} = 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг
Астрономическая единица $\quad 1$ а. е. $= 1.496 \cdot 10^{11}$ м
Парсек $\quad 1$ пк $= 3.086 \cdot 10^{16}$ м
Время накопления сигнала глазом $\quad = 0.05$ с

Формулы приближённого вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \mathrm{tg}\, x \approx x

\ln(1+x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989\times10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302\times10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869\times10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974\times10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348\times10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419\times10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899\times10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685\times10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683\times10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024\times10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2025_teor_8_exam.pdf · официални решения: mos_astro_2025_teor_8_ans.pdf