МАО 2025, Теория, 8. клас — Задача 5

LXXIX Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2025 г. 8 класс · 8 т.

Требования к решению

В решении для всех вычислений должна быть представлена формула, где искомая величина записана в явном «буквенном» виде, записаны подставляемые значения и только потом ответ. Если численные значения получаются из рисунков/графиков, должно быть показано, что именно измерялось.

Условие

В 00:00 по местному времени 9 февраля корабль начал движение по экватору с постоянной скоростью, а к 00:00 10 февраля, также по местному времени, он преодолел уже 1670 км. Известно, что двигатели не позволяют развивать кораблю скорость больше 25 узлов. Календарь назад не переводили. Определите скорость корабля в узлах и направление движения.

Один узел равен одной морской миле в час, морская миля равна длине одной минуты земного меридиана.

Отговори

Решение

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

  • Светимость Солнца L⊙=3.827⋅1026\quad L_{\odot} = 3.827 \cdot 10^{26} Вт
  • Видимая звёздная величина Солнца m⊙=−26.78m\quad m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}
  • Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца M⊙=4.72m\quad M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}
  • Эффективная температура Солнца T⊙=5800\quad T_{\odot} = 5800 K
  • Солнечная постоянная E⊙=1360.8\quad E_{\odot} = 1360.8 Вт м−2^{-2}
  • Тропический год =365.24219\quad = 365.24219 сут
  • Звёздные сутки T☾=23\quad T_{\text{☾}} = 23 ч 56 мин 04 с
  • Наклон экватора к эклиптике ε=23∘26′21.45′′\quad \varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''
  • Средняя плотность Земли ρ⊕=5515\quad \rho_{\oplus} = 5515 кг/м3^3
  • Синодический месяц S☾=29.530 59\quad S_{\text{☾}} = 29.530\,59 сут
  • Видимая звёздная величина полной Луны m☾=−12.7m\quad m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}
  • Число звёзд в нашей Галактике =10⋅1011\quad = 10 \cdot 10^{11}
  • Радиус диска нашей Галактики =20\quad = 20 кпк
  • Масса нашей Галактики (в массах Солнца) =2⋅1012\quad = 2 \cdot 10^{12}

Астрономические и физические постоянные

  • Гравитационная постоянная G=6.674⋅10−11\quad G = 6.674 \cdot 10^{-11} м3^3 кг−1^{-1} с−2^{-2}
  • Скорость света в вакууме c=2.998⋅108\quad c = 2.998 \cdot 10^{8} м с−1^{-1}
  • Постоянная Стефана-Больцмана σ=5.67⋅10−8\quad \sigma = 5.67 \cdot 10^{-8} кг с−3^{-3} K−4^{-4}
  • Масса протона mp=1.67⋅10−27\quad m_{\mathrm{p}} = 1.67 \cdot 10^{-27} кг
  • Астрономическая единица 1\quad 1 а. е. =1.496⋅1011= 1.496 \cdot 10^{11} м
  • Парсек 1\quad 1 пк =3.086⋅1016= 3.086 \cdot 10^{16} м

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

ОбъектБольшая полуось, а.е.ЭксцентриситетОрбитальный периодМасса, кгРадиус, тыс. кмОсевой период
Солнце1.989×10301.989\times10^{30}69625.38 сут
Меркурий0.38710.205687.97 сут3.302×10233.302\times10^{23}2.4458.65 сут
Венера0.72330.0068224.70 сут4.869×10244.869\times10^{24}6.05243.02 сут
Земля10.0167365.26 сут5.974×10245.974\times10^{24}6.3723.93 ч
Луна0.002 570.054927.322 сут7.348×10227.348\times10^{22}1.7427.32 сут
Марс1.52370.0934686.98 сут6.419×10236.419\times10^{23}3.4024.62 ч
Юпитер5.20280.048311.862 лет1.899×10271.899\times10^{27}69.99.92 ч
Сатурн9.53880.056029.458 лет5.685×10265.685\times10^{26}60.310.66 ч
Уран19.19140.046184.01 лет8.683×10258.683\times10^{25}25.617.24 ч
Нептун30.06110.0097164.79 лет1.024×10261.024\times10^{26}24.716.11 ч
Справочные данные (в решениях)

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

  • Светимость Солнца L⊙=3.827⋅1026\quad L_{\odot} = 3.827 \cdot 10^{26} Вт
  • Видимая звёздная величина Солнца m⊙=−26.78m\quad m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}
  • Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца M⊙=4.72m\quad M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}
  • Эффективная температура Солнца T⊙=5800\quad T_{\odot} = 5800 K
  • Солнечная постоянная E⊙=1360.8\quad E_{\odot} = 1360.8 Вт м−2^{-2}
  • Поток солнечной энергии в видимых лучах на расстоянии Земли =600\quad = 600 Вт м−2^{-2}
  • Тропический год =365.24219\quad = 365.24219 сут
  • Звёздные сутки =23\quad = 23 ч 56 мин 04 с
  • Наклон экватора к эклиптике ε=23∘26′21.45′′\quad \varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''
  • Синодический месяц S☾=29.530 59\quad S_{\text{☾}} = 29.530\,59 сут
  • Видимая звёздная величина полной Луны m☾=−12.7m\quad m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}
  • Число звёзд в нашей Галактике =10⋅1011\quad = 10 \cdot 10^{11}
  • Радиус диска нашей Галактики =20\quad = 20 кпк
  • Масса нашей Галактики (в массах Солнца) =2⋅1012\quad = 2 \cdot 10^{12}

Астрономические и физические постоянные

  • Гравитационная постоянная G=6.674⋅10−11\quad G = 6.674 \cdot 10^{-11} м3^3 кг−1^{-1} с−2^{-2}
  • Скорость света в вакууме c=2.998⋅108\quad c = 2.998 \cdot 10^{8} м с−1^{-1}
  • Постоянная Стефана-Больцмана σ=5.67⋅10−8\quad \sigma = 5.67 \cdot 10^{-8} кг с−3^{-3} K−4^{-4}
  • Постоянная Планка h=6.626⋅10−34\quad \mathrm{h} = 6.626 \cdot 10^{-34} Дж с
  • Масса протона mp=1.67⋅10−27\quad m_{\mathrm{p}} = 1.67 \cdot 10^{-27} кг
  • Астрономическая единица 1\quad 1 а. е. =1.496⋅1011= 1.496 \cdot 10^{11} м
  • Парсек 1\quad 1 пк =3.086⋅1016= 3.086 \cdot 10^{16} м
  • Время накопления сигнала глазом =0.05\quad = 0.05 с

Формулы приближённого вычисления (при x≪1x \ll 1)

sin⁡(x)≈xcos⁡x≈1−x22tg x≈x\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \mathrm{tg}\, x \approx x
ln⁡(1+x)≈xex≈1+x(1+x)α≈1+αx\ln(1+x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

ОбъектБольшая полуось, а.е.ЭксцентриситетОрбитальный периодМасса, кгРадиус, тыс. кмОсевой период
Солнце1.989×10301.989\times10^{30}69625.38 сут
Меркурий0.38710.205687.97 сут3.302×10233.302\times10^{23}2.4458.65 сут
Венера0.72330.0068224.70 сут4.869×10244.869\times10^{24}6.05243.02 сут
Земля10.0167365.26 сут5.974×10245.974\times10^{24}6.3723.93 ч
Луна0.002 570.054927.322 сут7.348×10227.348\times10^{22}1.7427.32 сут
Марс1.52370.0934686.98 сут6.419×10236.419\times10^{23}3.4024.62 ч
Юпитер5.20280.048311.862 лет1.899×10271.899\times10^{27}69.99.92 ч
Сатурн9.53880.056029.458 лет5.685×10265.685\times10^{26}60.310.66 ч
Уран19.19140.046184.01 лет8.683×10258.683\times10^{25}25.617.24 ч
Нептун30.06110.0097164.79 лет1.024×10261.024\times10^{26}24.716.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2025_teor_8_exam.pdf · официални решения: mos_astro_2025_teor_8_ans.pdf