Съдържание

МАО 2025, Теория, 9. клас — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2025

LXXIX Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2025 г. 9 класс · 8 т.

Общие указания

В решении для всех вычислений должна быть представлена формула, где искомая величина записана как явная функция известных величин, записаны подставляемые значения и только потом ответ. Если численные значения получаются из рисунков/графиков, должно быть показано, что именно измерялось.

Лист задачи 6

Сдайте этот лист вместе с работой!

Условие

При наблюдении с Земли Марс, Венера и астероид с перицентрическим расстоянием ровно 2 а. е. оказались на расстоянии в точности 1 а. е. Определите фазы Земли, Венеры и Марса при наблюдении с астероида в этот момент. Орбиту Земли считайте круговой.

Отговори

Решение

В условии сказано, что орбита Земли круговая, отметим, что её радиус, по определению, равен 1 а. е. Орбиты Марса, Венеры и, тем более, астероида круговыми считать не требуется.

Выясним положение астероида. Рассмотрим треугольник Земля — Солнце — Астероид. Расстояние от Земли до Солнца и до астероида по 1 а. е., следовательно, из неравенства треугольника получаем, что расстояние от Солнца до астероида в этот момент не больше 1 а. е. + 1 а. е. = 2 а. е., при этом его минимальное расстояние до Солнца — 2 а. е. Из чего делаем вывод, что астероид находится на одной прямой с Землёй и Солнцем, в противостоянии. Следовательно, при наблюдении с астероида фаза Земли равна нулю.

Схема: Солнце в центре концентрических орбит; окружность с центром в Земле (З) радиусом 1 а. е. проходит через Солнце, Венеру (В), Марс (М) и астероид (А) в противостоянии; пунктиром проведены хорды к Солнцу и астероиду, у точек В и М отмечены прямые углы.

Теперь остаётся заметить, что Солнце, Марс, Венера и астероид лежат на окружности с центром в Земле, причём Солнце и астероид лежат на одном диаметре. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^{\circ}$ , то есть углы астероид — Марс — Солнце и астероид — Венера — Солнце равны $90^{\circ}$ . Следовательно, их фазы равны в точности 0.5.

Критерии проверки

Указание, что астероид в противостоянии 2 балла
Фаза Земли 2 балла
Фаза Марса, Венеры 2 + 2 балла

Явно использовалось, что орбиты Венеры и Марса круговые — 1+1

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(А. В. Ребриков)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Величина	Значение
Светимость Солнца	$L_{\odot} = 3.827 \cdot 10^{26}$ Вт
Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца	$M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot} = 5800$ К
Солнечная постоянная	$E_{\odot} = 1360.8$ Вт м $^{-2}$
Поток солнечной энергии в видимых лучах на расстоянии Земли	$= 600$ Вт м $^{-2}$
Тропический год	$= 365.24219$ сут
Звёздные сутки	$= 23$ ч $56$ мин $04$ с
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц	$S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны	$m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике	$= 10 \cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики	$= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)	$= 2 \cdot 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Величина	Значение
Гравитационная постоянная	$G = 6.674 \cdot 10^{-11}$ м $^{3}$ кг $^{-1}$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998 \cdot 10^{8}$ м с $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}$ кг с $^{-3}$ К $^{-4}$
Постоянная Планка	$\mathrm{h} = 6.626 \cdot 10^{-34}$ Дж с
Масса протона	$m_{\mathrm{p}} = 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг
Астрономическая единица	$1$ а. е. $= 1.496 \cdot 10^{11}$ м
Парсек	$1$ пк $= 3.086 \cdot 10^{16}$ м
Время накопления сигнала глазом	$= 0.05$ с

Формулы приближённого вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \operatorname{tg} x \approx x

\ln(1 + x) \approx x \qquad e^{x} \approx 1 + x \qquad (1 + x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989 \times 10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302 \times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869 \times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974 \times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348 \times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419 \times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899 \times 10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685 \times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683 \times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024 \times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2025_teor_9_exam.pdf · официални решения: mos_astro_2025_teor_9_ans.pdf