Съдържание

МАО 2025, Теория, 9. клас — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2025

LXXIX Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2025 г. 9 класс · 8 т.

Общие указания

В решении для всех вычислений должна быть представлена формула, где искомая величина записана как явная функция известных величин, записаны подставляемые значения и только потом ответ. Если численные значения получаются из рисунков/графиков, должно быть показано, что именно измерялось.

Лист задачи 6

Сдайте этот лист вместе с работой!

Условие

В серии фильмов «Звёздные войны» планета Альдераан была уничтожена с помощью Звезды Смерти. Через некоторое время после взрыва размеры облака обломков, сохранившего симметричную форму, сравнялись размерами со звездой, вокруг которой вращалась планета. Предположим, что звезда — близнец нашего Солнца, а радиус Альдераана был в 2 раза больше радиуса Земли. Считая, что средний радиус обломков равен 7 км, определите, на сколько звёздных величин был ослаблен блеск звезды Альдераана для далёкого наблюдателя, находящегося в этот момент на линии звезда — бывший центр планеты. Считать, что все части обломков распределены равномерно в облаке и не перекрывают друг друга для наблюдателя.

Отговори

Решение

Объём планеты составлял $V_{\text{п}} = \frac{4}{3}\pi R_{\text{п}}$ , а объём осколков — $V_{\text{о}} = \frac{4}{3}\pi R_{\text{о}}^3$ . Поскольку объём планеты и суммарный объём всех осколков равны, получаем полное число осколков:

N = \frac{V_{\text{п}}}{V_{\text{о}}} = \left(\frac{R_{\text{п}}}{R_{\text{о}}}\right)^3 = \left(\frac{2 \cdot 6370}{7}\right)^3 \approx 6 \cdot 10^9.

Поперечное сечение осколков составляет $S_{\text{о}} = \pi R_{\text{о}}^2$ . Все осколки закроют площадь $NS_{\text{о}}$ , тогда как поперечное сечение звезды составляет $S_{\star} = \pi R_{\odot}^2$ . Значит, падение блеска звезды будет равно

\Delta m = -2.5 \lg \frac{S_{\star} - NS_{\text{о}}}{S_{\star}} = -2.5 \lg \left[1 - N\left(\frac{R_{\text{о}}}{R_{\odot}}\right)^2\right] = -2.5 \lg \left(1 - \frac{R_{\text{п}}^3}{R_{\text{о}} R_{\odot}^2}\right) \approx 1^{\mathrm{m}}.

Критерии проверки

Полное число осколков 2 балла
Освещённость падает пропорционально закрываемой площади 1 балл
Правильная запись формулы Погсона для данной задачи 2 балла
Правильный ответ 3 балла

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(А. А. Автаева)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Величина	Значение
Светимость Солнца	$L_{\odot} = 3.827 \cdot 10^{26}$ Вт
Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца	$M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot} = 5800$ К
Солнечная постоянная	$E_{\odot} = 1360.8$ Вт м $^{-2}$
Поток солнечной энергии в видимых лучах на расстоянии Земли	$= 600$ Вт м $^{-2}$
Тропический год	$= 365.24219$ сут
Звёздные сутки	$= 23$ ч $56$ мин $04$ с
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц	$S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны	$m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике	$= 10 \cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики	$= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)	$= 2 \cdot 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Величина	Значение
Гравитационная постоянная	$G = 6.674 \cdot 10^{-11}$ м $^{3}$ кг $^{-1}$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998 \cdot 10^{8}$ м с $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}$ кг с $^{-3}$ К $^{-4}$
Постоянная Планка	$\mathrm{h} = 6.626 \cdot 10^{-34}$ Дж с
Масса протона	$m_{\mathrm{p}} = 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг
Астрономическая единица	$1$ а. е. $= 1.496 \cdot 10^{11}$ м
Парсек	$1$ пк $= 3.086 \cdot 10^{16}$ м
Время накопления сигнала глазом	$= 0.05$ с

Формулы приближённого вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \operatorname{tg} x \approx x

\ln(1 + x) \approx x \qquad e^{x} \approx 1 + x \qquad (1 + x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989 \times 10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302 \times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869 \times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974 \times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348 \times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419 \times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899 \times 10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685 \times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683 \times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024 \times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2025_teor_9_exam.pdf · официални решения: mos_astro_2025_teor_9_ans.pdf