Съдържание

МАО 2025, Теория, 9. клас — Задача 4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2025

LXXIX Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2025 г. 9 класс · 8 т.

Общие указания

В решении для всех вычислений должна быть представлена формула, где искомая величина записана как явная функция известных величин, записаны подставляемые значения и только потом ответ. Если численные значения получаются из рисунков/графиков, должно быть показано, что именно измерялось.

Лист задачи 6

Сдайте этот лист вместе с работой!

Условие

К Юпитеру и Нептуну запустили два одинаковых спутника для изучения атмосфер этих планет. С какого спутника чаще будут приходить фотографии тёмной стороны планеты, если размеры планет на фотографиях одинаковые, а спутники вращаются в одну сторону по круговым орбитам?

Отговори

Решение

Равенство размеров планет на снимках означает равенство их угловых размеров при наблюдении со спутников. Угловой размер планеты $\alpha$ зависит от её линейного размера (например радиуса $R$ ) и расстояния до нее $l$ : $\alpha = R/l$ . Будем обозначать все величины, относящиеся к Юпитеру индексом «ю», а относящиеся к Нептуну индексом «н». Тогда можно записать:

\alpha_{\text{ю}} = \alpha_{\text{н}} \quad \Rightarrow \quad \frac{R_{\text{ю}}}{l_{\text{ю}}} = \frac{R_{\text{н}}}{l_{\text{н}}}.

Радиусы планет даны в справочных данных. Расстояния до планет являются радиусами орбит спутников. Третий закон Кеплера связывает радиус орбиты с массой планеты $M$ и периодом обращения спутника вокруг планеты $T$ :

\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 = \frac{GM}{l^3}.

Возведем в куб уравнение для угловых размеров планет и подставим туда радиусы орбит из закона Кеплера:

\frac{4\pi^2 R_{\text{ю}}^3}{GM_{\text{ю}} T_{\text{ю}}^2} = \frac{4\pi^2 R_{\text{н}}^3}{GM_{\text{н}} T_{\text{н}}^2} \quad \Rightarrow \quad \frac{T_{\text{ю}}}{T_{\text{н}}} = \sqrt{\frac{M_{\text{н}}}{M_{\text{ю}}}\left(\frac{R_{\text{ю}}}{R_{\text{н}}}\right)^3} = \sqrt{\frac{1.024 \cdot 10^{26}}{1.899 \cdot 10^{27}}\left(\frac{69.9 \cdot 10^3}{24.7 \cdot 10^3}\right)^3} \approx 1.1.

Спутник наблюдает неосвещённую часть планеты один раз за орбитальный период. Поскольку период спутника, движущегося вокруг Юпитера, больше, то и фотографии от него будут приходить с большим интервалом времени, то есть в 1.1 раза реже.

Стоит заметить, что из-за движения планет вокруг Солнца требуется определить не сидерические, а синодические, т. е. относительно Солнца, периоды обращения спутников. Однако время обращения вокруг Солнца планет-гигантов очень велико, гораздо больше любого разумного периода обращения спутника. Поэтому разницей между синодическим и сидерическим периодом здесь можно пренебречь.

Критерии проверки

Угловые размеры планет со спутников равны 1 балл
Правильная запись 3-го закона Кеплера 2 балла
Формула для вычисления отношения периодов 2 балла
Численный ответ 1 балл
Правильный вывод 1 балл
Учёт движения планет вокруг Солнца / указание, что это не имеет смысла 1 балл

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(М. В. Силантьев)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Величина	Значение
Светимость Солнца	$L_{\odot} = 3.827 \cdot 10^{26}$ Вт
Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца	$M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot} = 5800$ К
Солнечная постоянная	$E_{\odot} = 1360.8$ Вт м $^{-2}$
Поток солнечной энергии в видимых лучах на расстоянии Земли	$= 600$ Вт м $^{-2}$
Тропический год	$= 365.24219$ сут
Звёздные сутки	$= 23$ ч $56$ мин $04$ с
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц	$S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны	$m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике	$= 10 \cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики	$= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)	$= 2 \cdot 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Величина	Значение
Гравитационная постоянная	$G = 6.674 \cdot 10^{-11}$ м $^{3}$ кг $^{-1}$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998 \cdot 10^{8}$ м с $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}$ кг с $^{-3}$ К $^{-4}$
Постоянная Планка	$\mathrm{h} = 6.626 \cdot 10^{-34}$ Дж с
Масса протона	$m_{\mathrm{p}} = 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг
Астрономическая единица	$1$ а. е. $= 1.496 \cdot 10^{11}$ м
Парсек	$1$ пк $= 3.086 \cdot 10^{16}$ м
Время накопления сигнала глазом	$= 0.05$ с

Формулы приближённого вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \operatorname{tg} x \approx x

\ln(1 + x) \approx x \qquad e^{x} \approx 1 + x \qquad (1 + x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989 \times 10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302 \times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869 \times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974 \times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348 \times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419 \times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899 \times 10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685 \times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683 \times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024 \times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2025_teor_9_exam.pdf · официални решения: mos_astro_2025_teor_9_ans.pdf