Съдържание

МАО 2026, Теория, 10. клас — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2026

LXXX Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2026 г. 10 класс · 8 т.

Требования к решению

В решении для всех вычислений должна быть представлена формула, где искомая величина записана в явном «буквенном» виде, записаны подставляемые значения и только потом ответ. Если численные значения получаются из рисунков/графиков, должно быть показано, что именно измерялось.

Условие

В марте 1990 года космический аппарат «Вояджер-1» сделал знаменитый снимок «Бледно-голубая точка» — фотографию Земли с рекордного на тот момент расстояния. Аппарат удалялся от Земли в направлении созвездия Геркулеса, вблизи границы с созвездием Змееносец. Радиосигнал от космического аппарата до Земли шёл примерно 5.6 часа. Определите звёздную величину Земли на этой фотографии, если её альбедо равно 0.31.

Отговори

Решение

Решение. При наблюдении с Земли Солнце проходит через созвездие Змееносца в начале декабря. В это время наблюдается соединение «Вояджера-1» с Солнцем. Спустя четверть года, в начале марта угол «Вояджер-1» — Земля — Солнце составляет около 90°, то есть при наблюдении с космического аппарата видна только половина диска Земли. Иными словами, фаза Земли $\Phi = 0.5$ .

Как известно, свет от Солнца до Земли идёт примерно 500 с, что соответствует расстоянию $a_0 = 1$ а. е. Тогда расстояние от «Вояджера-1» до Земли составляет

d = \frac{5.6\ \text{часа}\cdot 3600\ \text{с/час}}{500\ \text{с}}\,1\ \text{а. е.} = 40.32\ \text{а. е.}

Звёздную величину Земли можно найти с помощью формулы Погсона:

m = m_{\odot} - 2.5\lg\frac{E_{\oplus}}{E_{\odot}},

где $m_{\odot}$ — видимая звёздная величина Солнца с «Вояджера-1», а $E_{\oplus}$ и $E_{\odot}$ — освещённости, создаваемые Землёй и Солнцем соответственно. Освещённость, создаваемая Солнцем:

E_{\odot} = \frac{L_{\odot}}{4\pi l^2},

где $L_{\odot}$ — светимость Солнца, а $l$ — расстояние Вояджера от Солнца. Освещённость, создаваемая Землёй:

E_{\oplus} = \frac{L_{\odot}}{4\pi a_0^2}\frac{\pi R_{\oplus}^2 A\Phi}{4\pi d^2},

где $R_{\oplus}$ — радиус Земли, а $A$ — её альбедо. Видимую с космического аппарата звёздную величину Солнца можно вычислить, зная видимую величину Солнца при наблюдении с Земли $m_{\odot,0}$ (см. справочные данные):

m_{\odot} = m_{\odot,0} - 2.5\lg\frac{a_0^2}{l^2}.

Поскольку угол «Вояджер-1» — Земля — Солнце мы приняли равным 90°, расстояния $l$ , $d$ и $a_0$ связаны теоремой Пифагора, но из-за малости $a_0$ по сравнению с $d$ можно считать, что $l \approx d$ . Тогда искомая звёздная величина

m = m_{\odot,0} - 2.5\lg\frac{a_0^2}{d^2} - 2.5\lg\frac{R_{\oplus}^2 A\Phi}{4a_0^2} = m_{\odot,0} - 2.5\lg\frac{R_{\oplus}^2 A\Phi}{4d^2} =

= -26.78^m - 2.5\lg\frac{6400^2\cdot 0.31\cdot 0.5}{4\cdot(40.32\cdot 1.496\cdot 10^8)^2} \approx 6.6.

Узнать больше об этой знаменитой фотографии можно здесь.

Критерии проверки

Верное вычисление расстояние от Вояджера до Земли в момент наблюдения — 1
Верное определение положения Земли относительно Солнца — 1
Верное определение фазы Земли в момент наблюдения — 1
Верный учёт альбедо при вычислениях — 1
Верное использование расстояния при вычислениях блеска Земли — 2
Верный учёт фазы при вычислениях блеска — 1
Верный численный ответ — 1

Последний балл выставляется только при полностью правильном решении без ошибок на промежуточных этапах.

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(А. М. Татарников, Е. Н. Фадеев)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца: $L_{\odot} = 3.827\cdot 10^{26}$ Вт

Видимая звёздная величина Солнца: $m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$

Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца: $M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$

Эффективная температура Солнца: $T_{\odot} = 5800$ K

Солнечная постоянная: $E_{\odot} = 1360.8$ Вт м $^{-2}$

Поток солнечной энергии в видимых лучах на расстоянии Земли: $= 600$ Вт м $^{-2}$

Тропический год: $= 365.24219$ сут

Звёздные сутки: $= 23$ ч 56 мин 04 с

Наклон экватора к эклиптике: $\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$

Синодический месяц: $S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут

Видимая звёздная величина полной Луны: $m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$

Число звёзд в нашей Галактике: $= 1\cdot 10^{11}$

Радиус диска нашей Галактики: $= 20$ кпк

Масса нашей Галактики (в массах Солнца): $= 2\cdot 10^{12}$

Абсолютная звёздная величина нашей Галактики: $= -20.9^{\mathrm{m}}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная: $G = 6.674\cdot 10^{-11}$ м $^{3}$ кг $^{-1}$ с $^{-2}$

Скорость света в вакууме: $c = 2.998\cdot 10^{8}$ м с $^{-1}$

Постоянная Стефана-Больцмана: $\sigma = 5.67\cdot 10^{-8}$ кг с $^{-3}$ K $^{-4}$

Постоянная Планка: $h = 6.626\cdot 10^{-34}$ Дж с

Постоянная Хаббла: $\mathrm{H} = 74$ км с $^{-1}$ Мпк $^{-1}$

Масса протона: $m_{\mathrm{p}} = 1.67\cdot 10^{-27}$ кг

Период полураспада свободного нейтрона: $= 609$ с

Астрономическая единица: 1 а. е. $= 1.496\cdot 10^{11}$ м

Парсек: 1 пк $= 3.086\cdot 10^{16}$ м

Формулы приближённого вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \mathrm{tg}\, x \approx x

\ln(1+x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989\times 10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302\times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869\times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974\times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348\times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419\times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899\times 10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685\times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683\times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024\times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: 10_prob.pdf · официални решения: 10_sol.pdf