МАО 2026, Теория, 10. клас — Задача 4

LXXX Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2026 г. 10 класс · 8 т.

Требования к решению

В решении для всех вычислений должна быть представлена формула, где искомая величина записана в явном «буквенном» виде, записаны подставляемые значения и только потом ответ. Если численные значения получаются из рисунков/графиков, должно быть показано, что именно измерялось.

Условие

Координаты северного полюса мира Марса в земной эклиптической системе: λ=353.3∘\lambda = 353.3^{\circ}, β=63.3∘\beta = 63.3^{\circ}. На марсианской небесной сфере точку весеннего равноденствия определяют по тем же правилам, что и на земной. Из-за прецессии марсианская точка равноденствия смещается со скоростью 7.58′′7.58'' в год, причём направление этого смещения совпадает с направлением прецессии земной точки равноденствия. Определите, через какой промежуток времени полюса мира Земли и Марса окажутся наиболее близко друг к другу на небесной сфере и какое угловое расстояние будет их разделять в этот момент. Считать орбиты планет лежащими в одной плоскости.

Отговори

Решение

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца: L⊙=3.827⋅1026L_{\odot} = 3.827\cdot 10^{26} Вт

Видимая звёздная величина Солнца: m⊙=−26.78mm_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}

Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца: M⊙=4.72mM_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}

Эффективная температура Солнца: T⊙=5800T_{\odot} = 5800 K

Солнечная постоянная: E⊙=1360.8E_{\odot} = 1360.8 Вт м−2^{-2}

Поток солнечной энергии в видимых лучах на расстоянии Земли: =600= 600 Вт м−2^{-2}

Тропический год: =365.24219= 365.24219 сут

Звёздные сутки: =23= 23 ч 56 мин 04 с

Наклон экватора к эклиптике: ε=23∘26′21.45′′\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''

Синодический месяц: S☾=29.530 59S_{\text{☾}} = 29.530\,59 сут

Видимая звёздная величина полной Луны: m☾=−12.7mm_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}

Число звёзд в нашей Галактике: =1⋅1011= 1\cdot 10^{11}

Радиус диска нашей Галактики: =20= 20 кпк

Масса нашей Галактики (в массах Солнца): =2⋅1012= 2\cdot 10^{12}

Абсолютная звёздная величина нашей Галактики: =−20.9m= -20.9^{\mathrm{m}}

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная: G=6.674⋅10−11G = 6.674\cdot 10^{-11} м3^{3} кг−1^{-1} с−2^{-2}

Скорость света в вакууме: c=2.998⋅108c = 2.998\cdot 10^{8} м с−1^{-1}

Постоянная Стефана-Больцмана: σ=5.67⋅10−8\sigma = 5.67\cdot 10^{-8} кг с−3^{-3} K−4^{-4}

Постоянная Планка: h=6.626⋅10−34h = 6.626\cdot 10^{-34} Дж с

Постоянная Хаббла: H=74\mathrm{H} = 74 км с−1^{-1} Мпк−1^{-1}

Масса протона: mp=1.67⋅10−27m_{\mathrm{p}} = 1.67\cdot 10^{-27} кг

Период полураспада свободного нейтрона: =609= 609 с

Астрономическая единица: 1 а. е. =1.496⋅1011= 1.496\cdot 10^{11} м

Парсек: 1 пк =3.086⋅1016= 3.086\cdot 10^{16} м

Формулы приближённого вычисления (при x≪1x \ll 1)

sin⁡(x)≈xcos⁡x≈1−x22tg x≈x\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \mathrm{tg}\, x \approx x
ln⁡(1+x)≈xex≈1+x(1+x)α≈1+αx\ln(1+x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

ОбъектБольшая полуось, а.е.ЭксцентриситетОрбитальный периодМасса, кгРадиус, тыс. кмОсевой период
Солнце1.989×10301.989\times 10^{30}69625.38 сут
Меркурий0.38710.205687.97 сут3.302×10233.302\times 10^{23}2.4458.65 сут
Венера0.72330.0068224.70 сут4.869×10244.869\times 10^{24}6.05243.02 сут
Земля10.0167365.26 сут5.974×10245.974\times 10^{24}6.3723.93 ч
Луна0.002 570.054927.322 сут7.348×10227.348\times 10^{22}1.7427.32 сут
Марс1.52370.0934686.98 сут6.419×10236.419\times 10^{23}3.4024.62 ч
Юпитер5.20280.048311.862 лет1.899×10271.899\times 10^{27}69.99.92 ч
Сатурн9.53880.056029.458 лет5.685×10265.685\times 10^{26}60.310.66 ч
Уран19.19140.046184.01 лет8.683×10258.683\times 10^{25}25.617.24 ч
Нептун30.06110.0097164.79 лет1.024×10261.024\times 10^{26}24.716.11 ч

Оригинал в Архива: 10_prob.pdf · официални решения: 10_sol.pdf