МАО 2026, Теория, 10. клас — Задача 5

• 1. В созвездии Козерога, вблизи границы со Стрельцом.
• 2. 1.17 а. е.
• 3. К западу от Солнца.

Решение. Проще всего подойти к решению этой задачи, воспользовавшись геометрическим определением параболы. А именно, параболой называется геометрическое место точек равноудалённых от заданной точки (фокуса) и заданной прямой (директрисы), не проходящей через эту точку. При движении по орбите в фокусе параболы находится Солнце.

Комета в перигелии оказалась на равном расстоянии от Солнца и от Земли. Из этого следует, что директриса параболической орбиты проходит в этот момент через Землю и перпендикулярна направлению на Солнце (положение 1 на рисунке). Спустя 19 дней расстояние от Солнца до кометы составляет уже 1 а. е., а значит, такое же расстояние от кометы до директрисы. Следовательно, относительно Солнца комета повернулась на 90° (положение 2 на рисунке).

Комета оказалась на орбите Земли. За 19 суток Земля, двигаясь по орбите, прошла дугу $\alpha = \frac{19}{365.25}\cdot 360^{\circ} \approx 18.7^{\circ}$. Тогда угол Земля — Солнце — комета равен $\beta = 90^{\circ} - 18.7^{\circ} = 71.3^{\circ}$. Треугольник Солнце — Земля — комета равнобедренный. Угол при Земле в этом треугольнике равен $\gamma = (180^{\circ} - \beta)/2 = 54.35^{\circ}$.

За 19 дней, к 20 марта, Солнце на небе сместилось на угол $\alpha$ и оказалось вблизи точки весеннего равноденствия, то есть в созвездии Рыбы. Комета видна на угловом расстоянии $\gamma$ к западу от Солнца в том месте, где Солнце было за $\frac{\gamma}{360^{\circ}}\cdot 365.25 \approx 55$ дней до 20 марта, то есть 24 января. В это время Солнце находится в Козероге, вблизи границы со Стрельцом.

Пусть $a_0 = 1$ а. е. — радиус орбиты Земли. Тогда расстояние между Землёй и кометой можно найти с помощью теоремы косинусов:

Критерии проверки

1. Комета повернулась относительно Солнца на 90° — 1 балл

2. Угол, на который повернулась Земля за то же время ($\alpha$) — 1 балл

3. Угол Солнце — Земля — комета ($\gamma$) — 1 балл

4. Созвездие, в котором наблюдается комета в точке 2 — 2 балла

5. Расстояние до кометы в точке 2 — 2 балла

6. Комета к западу от Солнца — 1 балл

   Если вместо нижнего используется верхнее соединение или перепутано направление движения кометы, или даже и то и другое одновременно, но остальные вычисления сделаны верно, то итоговая оценка уменьшается на 3 балла.

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

Замечание. В текст условия этой задачи закралась опечатка: двигаясь по параболической орбите, комета никак не может за 19 дней успеть добраться до орбиты Земли, по крайней мере, если у неё нет двигателя. Правильное значение — 39 дней. Тем не менее, выбранный метод решения остаётся верным.

(Е. Н. Фадеев)