Съдържание

МАО 2026, Теория, 10. клас — Задача 6

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2026

LXXX Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2026 г. 10 класс · 8 т.

Требования к решению

В решении для всех вычислений должна быть представлена формула, где искомая величина записана в явном «буквенном» виде, записаны подставляемые значения и только потом ответ. Если численные значения получаются из рисунков/графиков, должно быть показано, что именно измерялось.

Условие

Вторая космическая скорость на поверхности сферической планеты равна $u_0$ . Если подняться на высоту $h_1 = 1000$ км над поверхностью планеты, то параболическая скорость на этой высоте станет равна первой космической скорости на поверхности планеты. На высоте, в два раза большей, чем $h_1$ , период обращения вокруг планеты равен $T_2 = 8$ часам. Определите:

A. Вторую космическую скорость на поверхности планеты,

B. Радиус планеты,

C. Массу планеты,

D. Среднюю плотность планеты.

Отговори

Решение

Решение. Как хорошо известно, первая космическая скорость равна

v = \sqrt{\frac{GM}{L}},

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса планеты, а $L$ — расстояние до её центра. Вторая космическая скорость может быть выражена через первую как

u = \sqrt{2}v = \sqrt{\frac{2GM}{L}}.

Величину $L$ нам будет удобно выражать в виде суммы радиуса планеты $R$ и высоты над поверхностью планеты $h$ : $L = R + h$ . Тогда

v_h = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}, \quad u_h = \sqrt{\frac{2GM}{R+h}}.

Теперь с помощью введённых обозначений запишем первое условие задачи — равенство параболической скорости на высоте $h_1$ и первой космической скорости на поверхности планеты:

u_1 = v_0 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{\frac{2GM}{R+h_1}} = \sqrt{\frac{GM}{R}}.

Отсюда получаем:

\frac{2}{R+h_1} = \frac{1}{R} \quad\Rightarrow\quad 2R = R + h_1 \quad\Rightarrow\quad R = h_1 = 1000\ \text{км}.

Из второго условия мы можем определить круговую скорость на высоте $h_2 = 2h_1$ :

v_2 = \frac{2\pi(R+h_2)}{T} = \frac{2\pi(1000+2000)}{8\cdot 3600} \approx 0.654\ \text{км/с} \approx 654\ \text{м/с}.

Зная скорость и радиус орбиты, можем определить массу из определения первой космической скорости:

M = \frac{v_2^2(R+h_2)}{G} = \frac{(654\ \text{м/с})^2(1000+2000)\cdot 10^3\ \text{м}}{6.67\cdot 10^{-11}\ \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2} = 1.9\cdot 10^{22}\ \text{кг}.

Зная радиус и массу планеты, нетрудно определить её среднюю плотность:

\rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3} \approx 4500\ \text{кг/м}^3.

Осталось ответить на первый вопрос задачи: вычислить вторую космическую скорость. Можно напрямую подставить значения во вторую формулу, а можно воспользоваться тем, что мы уже вычислили первую космическую скорость на высоте $h_2$ . Тогда

u_0 = \sqrt{2}v_0 = \sqrt{2}v_2\sqrt{\frac{R+h_2}{R}} = \sqrt{2}v_2\sqrt{\frac{R+2R}{R}} = \sqrt{6}\cdot v_2 = \sqrt{6}\cdot 0.654\ \text{км/с} \approx 1.6\ \text{км/с}.

Критерии проверки

Формулы 1-й и 2-й космических скоростей — 1 + 1 балл
Определен радиус планеты — 1 балл
Масса планеты: формула + значение — 1 + 1 балла
Плотность планеты: формула + значение — 1 + 1 балла
Числовое значение $u_0$ — 1 балл

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(В. Б. Игнатьев)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца: $L_{\odot} = 3.827\cdot 10^{26}$ Вт

Видимая звёздная величина Солнца: $m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$

Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца: $M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$

Эффективная температура Солнца: $T_{\odot} = 5800$ K

Солнечная постоянная: $E_{\odot} = 1360.8$ Вт м $^{-2}$

Поток солнечной энергии в видимых лучах на расстоянии Земли: $= 600$ Вт м $^{-2}$

Тропический год: $= 365.24219$ сут

Звёздные сутки: $= 23$ ч 56 мин 04 с

Наклон экватора к эклиптике: $\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$

Синодический месяц: $S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут

Видимая звёздная величина полной Луны: $m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$

Число звёзд в нашей Галактике: $= 1\cdot 10^{11}$

Радиус диска нашей Галактики: $= 20$ кпк

Масса нашей Галактики (в массах Солнца): $= 2\cdot 10^{12}$

Абсолютная звёздная величина нашей Галактики: $= -20.9^{\mathrm{m}}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная: $G = 6.674\cdot 10^{-11}$ м $^{3}$ кг $^{-1}$ с $^{-2}$

Скорость света в вакууме: $c = 2.998\cdot 10^{8}$ м с $^{-1}$

Постоянная Стефана-Больцмана: $\sigma = 5.67\cdot 10^{-8}$ кг с $^{-3}$ K $^{-4}$

Постоянная Планка: $h = 6.626\cdot 10^{-34}$ Дж с

Постоянная Хаббла: $\mathrm{H} = 74$ км с $^{-1}$ Мпк $^{-1}$

Масса протона: $m_{\mathrm{p}} = 1.67\cdot 10^{-27}$ кг

Период полураспада свободного нейтрона: $= 609$ с

Астрономическая единица: 1 а. е. $= 1.496\cdot 10^{11}$ м

Парсек: 1 пк $= 3.086\cdot 10^{16}$ м

Формулы приближённого вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \mathrm{tg}\, x \approx x

\ln(1+x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989\times 10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302\times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869\times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974\times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348\times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419\times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899\times 10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685\times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683\times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024\times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: 10_prob.pdf · официални решения: 10_sol.pdf